红黑树与AVL树：高效的自平衡二叉搜索树

# 1. 二叉搜索树简介

## 1.1 二叉搜索树的定义与特点

二叉搜索树（Binary Search Tree，简称BST）是一种特殊的二叉树，它具有以下性质：
- 对于任意节点 n，其左子树（left subtree）上所有节点的值都小于节点 n 的值。
- 对于任意节点 n，其右子树（right subtree）上所有节点的值都大于节点 n 的值。
- 左右子树也分别为二叉搜索树。

二叉搜索树的特点使得其在查找、插入和删除操作上具有较高的效率，时间复杂度为 O(log n)。

## 1.2 二叉搜索树的基本操作

### 1.2.1 插入节点
当需要插入一个新节点时，从根节点开始，递归地比较要插入节点的值和当前节点的值，直到找到一个合适的空位置插入新节点。

class TreeNode:
    def __init__(self, value):
        self.val = value
        self.left = None
        self.right = None

def insert_node(root, value):
    if not root:
        return TreeNode(value)
    if value < root.val:
        root.left = insert_node(root.left, value)
    else:
        root.right = insert_node(root.right, value)
    return root

### 1.2.2 删除节点
删除节点时，需考虑被删除节点的子节点情况，以保持二叉搜索树的性质。

public TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
    if (root == null) {
        return null;
    }
    if (key < root.val) {
        root.left = deleteNode(root.left, key);
    } else if (key > root.val) {
        root.right = deleteNode(root.right,key);
    } else {
        if(root.left == null){
            return root.right;
        }else if(root.right == null){
            return root.left;
        }
        TreeNode minNode = getMin(root.right);
        root.val = minNode.val;
        root.right = deleteNode(root.right, root.val);
    }
    return root;
}

private TreeNode getMin(TreeNode node) {
    while (node.left != null) {
        node = node.left;
    }
    return node;
}

### 1.2.3 搜索节点
在二叉搜索树中搜索特定值的节点，可以通过递归或循环实现。

function search(root, value) {
    if (!root || root.val === value) {
        return root;
    }
    if (value < root.val) {
        return search(root.left, value);
    } else {
        return search(root.right, value);
    }
}

## 1.3 二叉搜索树的局限性与问题引出

尽管二叉搜索树在大部分情况下能够提供较高的效率，但在极端情况下可能退化为链表，导致查找效率变为 O(n)。为了解决这一问题，AVL树和红黑树应运而生，它们通过自平衡机制来保持树的平衡，从而提高了在最坏情况下的性能。

# 2. AVL树的原理与实现

AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，保持树的高度平衡以确保插入、删除和搜索操作的时间复杂度为O(log n)。本章将深入介绍AVL树的原理与实现。

### 2.1 AVL树的定义与性质

AVL树是一种带有平衡条件的二叉搜索树。对于任意节点，其左子树和右子树的高度最多相差1。这种平衡性质确保了AVL树的高度始终保持在O(log n)的水平，从而提供了快速的搜索性能。

### 2.2 AVL树的自平衡调整算法

当在AVL树中执行插入或删除操作时，可能会破