基于梯度下降的逻辑回归模型训练

# 1. 引言
### 1.1 逻辑回归简介
逻辑回归是一种广泛应用于分类问题的机器学习算法。与线性回归不同，逻辑回归的输出是一个概率值，常用于二分类问题。它主要基于线性回归模型，通过一个非线性函数（sigmoid函数）将输出限制在0到1之间，表示样本属于某一类别的概率。

### 1.2 梯度下降算法简介
梯度下降算法是优化算法中的一种，用于求解最优化问题。在逻辑回归中，梯度下降算法被应用于求解模型的参数，使得模型在训练数据上的预测结果与真实结果之间的差距最小化。它通过迭代更新参数的方式，逐步接近最优解。

梯度下降算法的基本思想是，通过计算目标函数关于参数的梯度，确定当前位置在目标函数曲面上的切线方向，然后朝着负梯度方向移动一定步长，更新参数。这样循环迭代，直到达到一定的停止条件。

梯度下降算法在逻辑回归中的应用，可以有效地寻找到最优的模型参数，从而得到更准确的分类结果。它是逻辑回归算法的核心步骤之一。

# 2. 逻辑回归模型概述

### 2.1 逻辑回归模型定义

逻辑回归是一种常见的分类算法，在机器学习和统计学领域中被广泛应用。逻辑回归模型可以用来解决二分类问题，即将输入特征映射到一个概率值，代表样本属于某个类别的概率。

逻辑回归模型的数学表达式如下：

h_{\theta}(x) = g(\boldsymbol{\theta}^T\mathbf{x})

其中，$h_{\theta}(x)$表示预测值，$\boldsymbol{\theta}$为模型参数，$\mathbf{x}$为输入特征向量，$g(z)$为逻辑函数（或称为sigmoid函数），定义如下：

g(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}

### 2.2 模型假设

逻辑回归模型基于以下假设：

- 输入特征与输出之间存在线性关系；
- 输入特征之间相互独立；
- 输出变量服从伯努利分布。

根据这些假设，我们可以用最大似然估计法求解模型参数，从而得到最优的逻辑回归模型。

### 2.3 模型应用领域

逻辑回归模型广泛应用于各个领域，比如：

- 金融领域：用于评估信用风险、预测违约概率等；
- 医疗领域：用于疾病预测、药物反应预测等；
- 推荐系统：用于用户行为分析、商品推荐等；
- 自然语言处理：用于情感分析、垃圾邮件识别等。

逻辑回归模型由于简单且易于解释，被广泛应用于实际问题中。接下来，我们将介绍逻辑回归算法的核心——梯度下降算法。

# 3. 梯度下降算法原理

梯度下降是一种常用的优化算法，用于最小化损失函数并更新模型参数。在逻辑回归中，梯度下降算法被广泛应用于寻找最优的模型参数，以使模型能够最好地拟合训练数据。

#### 3.1 梯度下降的基本思想

梯度下降的基本思想是通过迭代更新模型参数，使损失函数最小化。对于逻辑回归模型而言，损失函数通常是对数似然函数或交叉熵损失函数。梯度下降算法通过计算损失函数对模型参数的偏导数（梯度），然后沿着梯度的反方向更新参数，直到达到损失函数的局部最小值。

#### 3.2 梯度计算方法

在梯度下降算法中，需要计算损失函数对模型参数的偏导数，即梯度。对于逻辑回归模型