MATLAB非线性方程组求解的固定点迭代法：理解其在求解非线性方程中的应用

# 1. MATLAB中非线性方程组求解概述**

非线性方程组是指一组方程，其中至少有一个方程是非线性的。在MATLAB中，非线性方程组的求解是一个重要的任务，在科学计算和工程应用中有着广泛的应用。

非线性方程组的求解方法多种多样，其中固定点迭代法是一种常用的方法。固定点迭代法通过构造一个迭代函数，逐步逼近方程组的解。在MATLAB中，固定点迭代法可以通过编写一个简单的脚本或函数来实现，具有较高的灵活性。

# 2. 固定点迭代法：理论基础

### 2.1 固定点迭代法的定义和收敛条件

**定义：**

固定点迭代法是一种求解非线性方程组的方法。对于一个非线性方程组：

F(x) = 0

其中 F(x) 是一个从 n 维空间到 n 维空间的非线性函数，固定点迭代法的基本思想是构造一个迭代函数 g(x)，使得 F(x) 的固定点（即满足 F(x) = x 的点）也是 g(x) 的固定点。

**收敛条件：**

固定点迭代法的收敛性取决于迭代函数 g(x) 的性质。若迭代函数满足以下条件，则迭代法收敛到 F(x) 的一个固定点：

1. **收缩映射：** 存在常数 0 < k < 1，使得对于任意 x, y，都有：

   ||g(x) - g(y)|| ≤ k||x - y||

2. **Lipschitz 连续：** 存在常数 L > 0，使得对于任意 x, y，都有：

   ||F(x) - F(y)|| ≤ L||x - y||

### 2.2 迭代函数的构造和收敛性分析

**迭代函数的构造：**

迭代函数 g(x) 的构造至关重要，它决定了迭代法的收敛速度和稳定性。常用的迭代函数构造方法包括：

* **雅可比迭代：**

   g(x) = x - J(x)^{-1}F(x)

其中 J(x) 是 F(x) 在 x 处的雅可比矩阵。

* **高斯-赛德尔迭代：**

   g(x) = x - D(x)^{-1}(F(x) - L(x)x)

其中 D(x) 是 J(x) 的对角线矩阵，L(x) 是 J(x) 的严格下三角矩阵。

**收敛性分析：**

迭代函数 g(x) 的收敛性可以通过分析其收缩常数 k 来判断。对于雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代，收缩常数 k 的计算方法如下：

* **雅可比迭代：**