多项式分解的国际研究：探索全球进展，引领数学创新

# 1. 多项式分解的理论基础**

多项式分解是将一个多项式分解成多个因式的过程。多项式分解的理论基础源自数论中的基本定理，即：任何非零的多项式都可以分解为不可约多项式的乘积。

不可约多项式是指不能再进一步分解的多项式。对于一个系数域为复数域的多项式，其不可约多项式一定是一次多项式或二次多项式。对于系数域为实数域的多项式，其不可约多项式可能是一次多项式、二次多项式或三次多项式。

# 2. 多项式分解算法

### 2.1 经典分解算法

经典分解算法是多项式分解中历史最悠久的方法，主要包括因式定理、鲁菲尼定理和合成除法。

#### 2.1.1 因式定理

**因式定理：**若多项式 f(x) 在 x = a 处有根，则 (x - a) 是 f(x) 的因式。

**证明：**
当 x = a 时，f(a) = 0。将 x - a 作为因式代入 f(x)，得到：

f(x) = (x - a) * q(x) + r

其中，q(x) 是商，r 是余数。由于 f(a) = 0，所以 r = 0。因此，(x - a) 是 f(x) 的因式。

**应用：**
因式定理可用于寻找多项式 f(x) 的根。若 f(x) 在 x = a 处有根，则 (x - a) 是 f(x) 的因式。因此，我们可以通过计算 f(x) 在不同 x 值处的取值，找到 f(x) 的根。

#### 2.1.2 鲁菲尼定理

**鲁菲尼定理：**若多项式 f(x) 在 x = a 处有根，则可以将其表示为：

f(x) = (x - a) * q(x) + f(a)

其中，q(x) 是商，f(a) 是余数。

**证明：**
根据因式定理，(x - a) 是 f(x) 的因式。因此，f(x) 可以表示为：

f(x) = (x - a) * q(x) + r

将 x = a 代入上式，得到：

f(a) = (a - a) * q(a) + r

由于 a - a = 0，所以 r = f(a)。

**应用：**
鲁菲尼定理可用于快速求解多项式 f(x) 在 x = a 处的余数。只需将 x = a 代入 f(x)，得到的结果即为余数。

#### 2.1.3 合成除法

**合成除法：**是一种基于鲁菲尼定理的快速多项式除法算法。它可以将多项式 f(x) 除以 (x - a)，得到商 q(x) 和余数 r。

**步骤：**
1. 将 f(x) 的系数写成一行。
2. 将 a 写在除号的左边。
3. 将 f(x) 的首项系数复制到商 q(x) 的第一行。
4. 将 q(x) 的第一行乘以 a，并将结果写在 f(x) 的第二行。
5. 将 f(x) 的第二行与第三行相加，得到 f(x) 的新第二行。
6. 重复步骤 4 和步骤 5，直到 f(x) 的所有系数都用完。
7. q(x) 的最后一行即为商，f(x) 的最后一行即为余数。

**示例：**
将多项式 f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 除以 (x - 2)。

2 | 1 -2  3 -4
   |   2  0  6
   ----------------
   1  0  3  2

因此，商 q(x) = x^2 + 3，余数 r = 2。

**应用：**
合成除法是一种快速且高