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# 1. 多项式分解概述

多项式分解是将一个多项式表示为多个因式的乘积的过程。它在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用，例如求解方程、化简表达式和解决几何问题。

多项式分解的理论基础是因式分解定理，它指出任何多项式都可以分解为不可约多项式的乘积。不可约多项式是不能再进一步分解的多项式。

多项式分解的常用方法包括：因式定理、韦达定理、配方法和分组分解法。因式定理用于分解整系数多项式，而韦达定理用于分解分式系数多项式。配方法和分组分解法则适用于各种类型的多项式。

# 2. 多项式分解理论

### 2.1 多项式的因式分解定理

多项式的因式分解定理指出，对于任意一个多项式 \(f(x)\)，存在唯一的一个次数最低、系数为整数的多项式 \(g(x)\)，使得 \(f(x) = g(x) \cdot h(x)\)，其中 \(h(x)\) 也是一个多项式。

**证明：**

使用数学归纳法进行证明。

**基例：** 当 \(f(x)\) 为一次多项式时，定理显然成立。

**归纳步骤：** 假设对于任意次数小于 \(n\) 的多项式，定理都成立。现在考虑一个次数为 \(n\) 的多项式 \(f(x)\)。

* 如果 \(f(x)\) 是不可约的，则 \(f(x) = g(x)\)，其中 \(g(x)\) 是次数为 \(n\) 的不可约多项式。
* 如果 \(f(x)\) 是可约的，则存在两个次数小于 \(n\) 的多项式 \(p(x)\) 和 \(q(x)\)，使得 \(f(x) = p(x) \cdot q(x)\)。根据归纳假设，\(p(x)\) 和 \(q(x)\) 可以分解为次数最低、系数为整数的多项式。因此，\(f(x)\) 也能分解为次数最低、系数为整数的多项式。

### 2.2 多项式分解的常用方法

#### 2.2.1 因式定理

**因式定理：** 如果 \(x - a\) 是多项式 \(f(x)\) 的因式，那么 \(f(a) = 0\)。

**应用：**

因式定理可以用来求多项式的根，从而分解多项式。

**例：** 求多项式 \(f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\) 的根。

**解：**

* 令 \(x - 1 = 0\)，则 \(x = 1\)。
* 将 \(x = 1\) 代入 \(f(x)\)，得到 \(f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + 6 = 0\)。
* 因此，\(x - 1\) 是 \(f(x)\) 的因式。
* 使用多项式长除法，可以得到 \(f(x) = (x - 1)(x^2 - x - 6)\)。
* 继续分解 \(x^2 - x - 6\)，可以得到 \(f(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 3)\)。

#### 2.2.2 韦达定理

**韦达定理：** 对于一个 \(n\) 次多项式 \(f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\)，其根 \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) 满足：

* \(x_1 + x_2 + \cdots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}\)
* \(x_1 x_2 + x_1 x_3 + \cdots + x_{n-1} x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}\)
* \(\cdots\)
* \(x_1 x_2 \cdots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}\)

**应用：**

韦达定理可以用来求多项式的根，从而分解多项式。

**例：** 求多项式 \(f(x) = x^3 - 5x^2 + 6x -