MATLAB最小二乘法诊断工具全攻略：评估模型准确性，确保可靠性

# 1. MATLAB最小二乘法概述**

最小二乘法是一种广泛用于数据拟合和回归分析的统计技术。其目标是找到一组参数，使拟合曲线与给定数据点之间的平方误差和最小。MATLAB提供了广泛的函数和工具，用于执行最小二乘法拟合和诊断。

MATLAB中最小二乘法的核心函数是`polyfit`，它用于拟合多项式曲线。该函数采用数据点和多项式阶数作为输入，并返回拟合系数。其他函数，如`fit`和`fitlm`，允许拟合更复杂的模型，如指数和非线性模型。

# 2. 最小二乘法诊断工具

最小二乘法是一种强大的技术，用于拟合数据并创建预测模型。然而，为了确保模型的准确性和可靠性，至关重要的是使用诊断工具来评估拟合优度和识别潜在问题。本章将探讨 MATLAB 中可用的各种最小二乘法诊断工具，包括残差分析、拟合优度评估和模型验证。

### 2.1 残差分析

残差是观测值与模型预测值之间的差值。残差分析是识别异常值、检测非线性和评估模型稳定性的重要工具。

#### 2.1.1 残差图

残差图将残差绘制为自变量或其他感兴趣变量的函数。残差图可以揭示数据中的模式和趋势，例如：

* **线性趋势：**如果残差图显示线性趋势，则表明模型未正确拟合数据。
* **非线性趋势：**如果残差图显示非线性趋势，则表明模型可能需要更复杂的拟合函数。
* **异常值：**残差图中的异常值可能表明数据中存在异常值或模型拟合不当。

#### 2.1.2 残差分布

残差分布显示残差的频率分布。理想情况下，残差分布应该呈正态分布，这意味着大多数残差都接近零，并且极端值很少。偏离正态分布可能表明模型存在问题，例如：

* **偏态分布：**如果残差分布偏向一侧，则表明模型可能存在偏差。
* **峰度分布：**如果残差分布比正态分布更平坦或更尖锐，则表明模型可能存在异方差性。

### 2.2 拟合优度评估

拟合优度评估指标用于量化模型拟合数据的程度。MATLAB 中可用的常见指标包括：

#### 2.2.1 决定系数（R^2）

R^2 是模型解释数据变异程度的比例。R^2 值在 0 到 1 之间，其中 0 表示模型无法解释任何变异，而 1 表示模型解释了所有变异。

#### 2.2.2 均方根误差（RMSE）

RMSE 是残差平方和的平方根除以观测值的数量。RMSE 度量模型预测与观测值之间的平均误差。RMSE 值越低，模型拟合越好。

#### 2.2.3 平均绝对误差（MAE）

MAE 是残差绝对值的平均值。MAE 度量模型预测与观测值之间的平均绝对误差。MAE 值越低，模型拟合越好。

### 2.3 模型验证

模型验证是评估模型在未知数据上的性能的过程。MATLAB 中可用的常见验证技术包括：

#### 2.3.1 交叉验证

交叉验证将数据分成多个子集，并使用每个子集作为测试集，而其余子集作为训练集。交叉验证可以提供模型泛化能力的无偏估计。

#### 2.3.2 留一法

留一法是一种交叉验证技术，其中一次仅使用一个观测值作为测试集，而其余观测值作为训练集。留一法可以提供模型泛化能力的保守估计。

# 3.1 识别异常值

异常值是数据集中显著偏离其他数据点的数据点。它们可能由测量误差、数据输入错误或其他异常事件引起。识别异常值对于最小二乘模型至关重要，因为它们可以对模型拟合和预测产生重大影响。