MATLAB最小二乘法在机器学习中的应用：从回归到分类，掌握机器学习核心算法

# 1. MATLAB最小二乘法简介

最小二乘法是一种广泛应用于数据拟合、回归分析和机器学习中的统计技术。在MATLAB中，最小二乘法可以通过`polyfit`和`fitlm`等函数实现。

最小二乘法旨在寻找一组参数，使得拟合曲线的误差平方和最小。在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数对给定数据进行线性或多项式回归，而`fitlm`函数则可以用于更通用的线性模型拟合。这些函数返回拟合模型的参数和统计信息，便于进一步的分析和预测。

# 2. MATLAB最小二乘法理论基础

### 2.1 线性回归模型

线性回归模型是一种用于预测连续变量（因变量）与一个或多个自变量（自变量）之间线性关系的统计模型。其一般形式为：

y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε

其中：

* y 是因变量
* x1, x2, ..., xn 是自变量
* β0, β1, ..., βn 是模型参数
* ε 是误差项，表示模型预测值与真实值之间的差异

### 2.2 最小二乘法原理

最小二乘法是一种用于估计线性回归模型参数的方法。其基本原理是找到一组参数值，使得模型预测值与真实值之间的误差平方和最小。即：

min Σ(yi - β0 - β1x1i - β2x2i - ... - βnxni)^2

其中：

* yi 是因变量的真实值
* β0, β1, ..., βn 是模型参数
* xi1, xi2, ..., xini 是自变量的值

### 2.3 最小二乘法求解方法

求解最小二乘法问题有两种常见的方法：

**1. 正规方程法**

正规方程法通过求解正规方程组来获得模型参数。正规方程组为：

[X'X]β = X'y

其中：

* X 是一个包含自变量值的矩阵
* y 是一个包含因变量值的向量
* β 是一个包含模型参数值的向量

**2. 梯度下降法**

梯度下降法是一种迭代算法，通过不断更新模型参数来最小化误差平方和。其更新规则为：

β = β - α∇f(β)

其中：

* β 是模型参数向量
* α 是学习率
* ∇f(β) 是误差平方和函数对参数β的梯度

**代码块：**

% 正规方程法求解最小二乘法问题
X = [ones(size(data, 1), 1), data(:, 1:end-1)];
y = data(:, end);
beta = (X' * X) \ (X' * y);

% 梯度下降法求解最小二乘法问题
alpha = 0.01;
max_iter = 1000;
beta = zeros(size(X, 2), 1);
for i = 1:max_iter
    gradient = 2 * X' * (X * beta - y);
    beta = beta - alpha * gradient;
end

**逻辑分析：**

正规方程法直接求解正规方程组，一次性得到模型参数。梯度下降法通过迭代更新参数，逐渐逼近最小二乘法解。

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