揭秘MATLAB最小二乘法的数学奥秘：深入理解算法原理，提升模型精度

# 1. MATLAB最小二乘法概述**

最小二乘法是一种广泛用于数据拟合和回归分析的统计技术。它通过寻找一组参数，使得拟合曲线与给定数据点的平方误差和最小化，从而得到最佳拟合模型。

在MATLAB中，最小二乘法可以通过`polyfit`函数实现。该函数采用数据点和多项式的阶数作为输入，并返回拟合多项式的系数。例如，对于一组数据点`x`和`y`，可以拟合一个一次多项式：

coeffs = polyfit(x, y, 1);

拟合模型的系数存储在`coeffs`变量中，其中`coeffs(1)`是斜率，`coeffs(2)`是截距。

# 2. 最小二乘法数学原理

### 2.1 线性回归模型

**2.1.1 模型方程**

线性回归模型是一种统计模型，用于预测一个或多个自变量（特征）与一个因变量（目标）之间的线性关系。其模型方程为：

y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε

其中：

* y 是因变量
* x1, x2, ..., xn 是自变量
* β0, β1, ..., βn 是模型参数
* ε 是误差项，表示模型与实际数据之间的偏差

### 2.1.2 模型参数估计

线性回归模型的参数可以通过最小二乘法进行估计。最小二乘法是一种优化方法，其目标是找到一组参数，使模型预测值与实际数据之间的平方误差最小。

### 2.2 最小二乘法求解

#### 2.2.1 正规方程法

正规方程法是求解最小二乘法参数的一种直接方法。其正规方程为：

β = (X'X)^-1X'y

其中：

* X 是自变量矩阵，每一行代表一个数据样本
* y 是因变量向量
* β 是模型参数向量

#### 2.2.2 QR分解法

QR分解法是求解最小二乘法参数的另一种方法。其步骤如下：

1. 将自变量矩阵 X 分解为正交矩阵 Q 和上三角矩阵 R：X = QR
2. 求解方程组 Rβ = Q'y
3. 得到模型参数 β

### 2.3 模型评估

#### 2.3.1 残差分析

残差是实际数据与模型预测值之间的差值。残差分析可以帮助评估模型的拟合优度和识别模型中是否存在异常值。

#### 2.3.2 模型拟合优度

模型拟合优度通常通过决定系数 R² 来衡量。R² 表示模型预测值与实际数据之间的相关性，其取值范围为 0 到 1。R² 越接近 1，表示模型拟合越好。

R² = 1 - Σ(y - ŷ)² / Σ(y - ȳ)²

其中：

* y 是实际数据
* ŷ 是模型预测值
* ȳ 是实际数据的平均值

# 3. 最小二乘法MATLAB实现

### 3.1 数据准备和加载

在开始最小二乘法拟合之前，需要先准备和加载数据。MATLAB提供了