MATLAB随机数生成在仿真中的应用：蒙特卡罗到机器学习，拓展仿真边界

# 1. 随机数生成的基础**

随机数是不可预测且均匀分布的值，在仿真中扮演着至关重要的角色。MATLAB提供了多种伪随机数生成器，用于生成具有特定概率分布的随机数。

**伪随机数生成器**

MATLAB中常见的伪随机数生成器包括：

- `rand()`：生成[0, 1]之间的均匀分布随机数。
- `randn()`：生成均值为0、标准差为1的正态分布随机数。
- `randperm()`：生成一个指定长度的随机排列。

**概率分布采样**

MATLAB还提供了各种函数来从特定概率分布中采样随机数，例如：

- `normrnd()`：生成正态分布随机数。
- `poissrnd()`：生成泊松分布随机数。
- `exprnd()`：生成指数分布随机数。

# 2. 蒙特卡罗模拟

### 2.1 蒙特卡罗方法的原理

蒙特卡罗方法是一种基于随机数的数值模拟方法，它通过重复地从概率分布中采样来估计积分、求解方程和其他复杂计算问题。其基本原理是：如果一个事件的概率为p，那么通过对该事件进行n次独立重复试验，事件发生的次数近似为np。

### 2.2 MATLAB中的蒙特卡罗模拟实现

#### 2.2.1 伪随机数生成器

MATLAB提供了多种伪随机数生成器，用于生成序列中的伪随机数。这些生成器使用确定性的算法，但生成的序列具有随机数的统计特性。常用的生成器包括：

% 使用 Mersenne Twister 生成器生成伪随机数
rng('default'); % 设置随机数生成器的种子
r = rand(10, 1); % 生成 10 个均匀分布的伪随机数

#### 2.2.2 概率分布采样

MATLAB提供了多种函数用于从各种概率分布中采样，包括均匀分布、正态分布、指数分布和泊松分布。例如：

% 从正态分布中采样 100 个随机数
mu = 0; % 均值
sigma = 1; % 标准差
x = normrnd(mu, sigma, 100, 1);

#### 2.2.3 蒙特卡罗积分

蒙特卡罗积分是一种使用蒙特卡罗方法计算积分的方法。其原理是将积分域划分为N个子区域，然后从积分域中随机采样N个点。积分的近似值等于这些点在被积函数上的值的平均值乘以积分域的面积。

% 使用蒙特卡罗方法计算积分
f = @(x) exp(-x.^2); % 被积函数
a = -1; % 积分下限
b = 1; % 积分上限
N = 10000; % 采样点数
x = a + (b - a) * rand(N, 1); % 从积分域中采样
y = f(x); % 计算被积函数值
I = (b - a) * mean(y); % 计算积分近似值

# 3.1 随机梯度下降

#### 3.1.1 梯度下降算法

梯度下降是一种优化算法，用于寻找函数的局部最小值或极值。它通过迭代更新参数来逐步逼近最优解。在每个迭代中，算法计算函数梯度，并沿梯度相反的方向更新参数。

梯度下降算法的数学表达式如下：

θ = θ - α * ∇f(θ)

其中：

* θ 是待优化的参数向量
* α 是学习率，控制更新幅度
* ∇f(θ) 是函数 f(θ) 的梯度

#### 3.1.2 随机梯度下降的优势和劣势

随机梯度下降（SGD