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研 究 简 报
关 于 结 构刚 度 修 改 的 一个 新 算 法
李正光, 吴柏生
(吉林大学数学学院, 长春 130012)
提要: 提出结构刚度修改的一个新算法. 该方法基于预条件共轭梯度法, 易于辅助、能自适
应地改进逼近精度, 适用于设计变量的大变化(包括单元删除与几何变化), 可用于一般的有
限元系统.
关键词: 结构修改; 重分析; 预条件共轭梯度法
中图分类号:
O
342 文献标识码:
A
文章编号: 1671-5489(2003)01-0036-04
收 稿日 期: 2002-07-09.
作 者 简 介: 李 正 光 (1975 ~ ), 男, 博 士 研 究 生 , 从 事 计 算 力 学 的 研 究, E -m ail: li
_
zheng
_
guang@ sina.com . 联 系 人: 吴 柏 生
(1963~), 男, 博 士, 教授, 博士 生导师 , 从 事计算 力学 的研究 .
基 金项 目: 国 家自 然科学 基金(批 准号: 19972023).
在工程结构的设计和优化过程中, 常常要对结构的某些设计参数进行修改, 以使结构安全可靠,
经济合理. 对大型结构系统, 计算每次修改后结构的位移与应力都需要求解隐式分析方程, 计算量庞
大, 很不经济. 重分析方法的目的是在求解过程中, 减少精确分析以及敏感性分析的次数, 其目标是
不直接求解结构每次修改后的隐式分析方程而评估其响应, 以便降低计算成本
[1 ]
.
为了避免每次修改后求解新的分析方程, 一些近似重分析方法得到了发展. 各种近似重分析方法
可以归纳为以下 3 类: (1) 全局逼近(也称多点逼近), 如多项式拟合或缩减基方法
[2 ~4 ]
. 该方法通过在
一些设计点求解分析方程来建立相应的逼近, 它们对整个设计空间(或至少在大部分设计区域上)是有
效的. 可是全局逼近对具有多个设计变量的问题将大大增加计算成本. (2) 基于局部逼近, 像关于一
个给定设计点的
T aylor
级数展开或二项式展开逼近. 局部逼近是基于单个设计点的计算信息, 它通常
仅在设计变量发生小的变化情况下有效. (3) 组合逼近, 它将缩减基方法
[2 ,4]
与一个级数展开的前几项
组合起来. 这类方法已由
K irsch
[5]
进行了研究. 像局部逼近一样, 计算是基于一个给定设计点的精确
分析结果, 每次重分析涉及解一个小规模方程组. 然而, 组合逼近要求引进增量刚度矩阵, 计算缩减
刚度矩阵, 存储基向量. 这些操作将增加计算成本.
本文使用预条件共轭梯度法
[6]
求解结构修改后的隐式分析方程. 利用结构修改前的信息找到预条
件共轭梯度法所需的预条件矩阵. 有关结构静力重分析预条件共轭梯度法可参见文献[7]. 这一方法
的主要优点是计算量小, 算法容易辅助并能保证即使设计变量发生很大变化也能获得高精度逼近结
果. 本文方法不要求计算微商, 适用于一般的有限元系统且能自适应地监视结果的精度. 数值例子验
证了本文方法的有效性.
1 问题描述
给定一个初始设计变量
X
0 , 对应的刚度矩阵记为
K
0 , 作用在结构上的荷载向量记为
R
, 则相应的
结构位移 y0 可由求解平衡方程:
K0 y0 = R (1)
获得. 由初始分析, 刚度矩阵
K
0 可写成如下的
C holesky
分解形式:
K0 = U
T
0 U0 , (2)
式中
U
0 是上三角矩阵, 它与
y
0 都是已知的.
假设设计变量有一变化
ΔX
, 而修改后的刚度矩阵变为
K
=
K
0 +
ΔK
, 其中
ΔK
是由于设计变量
X
V ol.41 吉 林 大 学 学 报 (理 学 版) N o.1
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