"二维随机变量函数的离散型分布及独立性证法"

《概率论与数理统计》第3.3节介绍了二维随机变量函数的分布。在这一节中我们先回顾了第二章中对服从二项分布的随机变量的直观解释，然后给出了另一种证法。接着，我们详细讨论了离散型问题下的二维随机变量函数的分布。 当我们已知二维随机变量(X,Y)的分布律，且已知一个二元函数g(x,y)时，我们可以求得Z=g(X,Y)的分布律。当(X,Y)是离散型随机变量时，Z也是离散型的。 举例来说，考虑一个离散型的二维随机变量(X,Y)，如果X和Y是独立的，且P{X=k}=ak，k=0,1,2…，P{Y=k}=bk，k=0,1,2…。我们可以求得Z=X+Y的分布律。 根据离散卷积公式，Z的概率分布可以表示为Pr{Z=r} = ∑(i=0 to r) P{Y=i}P{X=r-i}，其中r=0,1,2…。 根据题目的要求，我们可以得到Pr{Z=0} = P{Y=0}P{X=0} = a0b0。同理，可以得到Pr{Z=1} = a0b1 + a1b0，Pr{Z=2} = a0b2 + a1b1 + a2b0，以此类推。 对于另一个例子，如果X和Y是相互独立的，并且X和Y分别服从参数为λ1和λ2的泊松分布。我们需要证明Z=X-Y服从参数为λ1-λ2的泊松分布。 根据卷积公式，我们有Pr{Z=r} = ∑(i=0 to ∞) P{X=i}P{Y=i+r}，其中r=0,1,2…。 根据泊松分布的概率函数，我们可以得到P{X=i} = (λ1^i * e^(-λ1))/i!，P{Y=i+r} = (λ2^(i+r) * e^(-λ2))/(i+r)!。 代入上述公式，我们可以得到Pr{Z=r} = ∑(i=0 to ∞) (λ1^i * e^(-λ1))/(i!) * (λ2^(i+r) * e^(-λ2))/((i+r)!)。 经过简化，我们可以得到Pr{Z=r} = (λ1^r * e^(-λ1) * λ2^r)/(r! * (λ2-λ1)^r)。 可以看出，Z的概率分布符合参数为λ1-λ2的泊松分布。 综上所述，根据已知的二维随机变量的分布律和二元函数，我们可以求得二维随机变量函数的分布律。在离散型问题中，我们可以使用离散卷积公式来计算分布律。这些结果对于概率计算和统计分析都具有重要的应用价值。