EM算法解析：从基础到高斯混合模型

"EM算法是用于处理不完全数据的最大似然估计方法，由Dempster、Laird和Rubin于1977年提出。它在数理统计、数据挖掘、机器学习和模式识别等领域有广泛应用。在高斯混合模型中，EM算法常被用来估计混合高斯分布的参数，即均值、方差和权重。 1. EM算法基本原理 EM算法主要包含两个步骤：期望（E）步和最大化（M）步。E步是计算在当前参数估计下的隐藏变量（如高斯分布归属）的期望值；M步则是利用E步得到的期望值来更新模型参数，以最大化似然估计。 2. 高斯混合模型 高斯混合模型是一种概率模型，其中数据由多个高斯分布的线性组合生成。每个高斯分布对应一个成分，每个样本可能属于其中之一。模型参数包括每个成分的均值、方差和混合权重。 3. 问题提出与简化 在解决高斯混合模型参数估计问题时，通常会引入隐藏变量Z，表示每个样本所属的高斯分布。若已知Z，参数估计变得简单。然而，在实际问题中，Z通常是未知的。 4. 引入隐藏变量 隐藏变量Z是一个指示向量，其第k个元素为1表示样本属于第k个高斯分布，其余元素为0。通过Z，可以将高斯混合模型转换为含有完整数据的模型，便于进行参数估计。 5. 隐藏变量后的高斯分布 引入Z后，高斯混合模型的概率密度函数会涉及Z的条件概率。每个样本的贡献将根据其属于各个高斯分布的概率加权。 6. EM算法流程 - E步：计算每个样本属于各高斯分布的概率，即后验概率。 - M步：基于E步得到的后验概率，更新每个高斯分布的参数，如均值、方差和混合权重，以最大化对数似然函数。 7. EM算法的不足与改进 尽管EM算法简单且易于理解，但它可能会陷入局部最优解，并且收敛速度较慢。为了克服这些问题，研究人员提出了多种改进算法，如GEM（Generalized EM）算法和其他变种，以提高收敛性能和估计精度。 8. 应用场景 EM算法在许多领域都有应用，例如聚类分析、语音识别、图像分析等，它能有效地处理含有隐含信息的数据，从而提供更准确的模型参数估计。"