考研数三笔记：函数积分连续与极限应用

本资源是一份针对考研数学三的详细笔记，涵盖了函数、极限和连续的重要概念及题型分析。首先，笔记强调了极限运算的一些规律，如无穷级数的极限性质$\lim_{n\to\infty}a_n = a$，以及三角函数的不等式关系$\sin x < x < \tan x$对于$x \in (0, \pi/2)$。同时，提供了积分中的经典技巧，如利用导数定义来求函数在某点的极限$\lim_{{x \to x_0^+}} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$，以及格林公式的应用。 笔记中还涉及到了定积分的可积性问题，指出若函数在闭区间上连续，则函数可积；而在有界且间断点有限的情况下，函数也可积。此外，积分函数的性质被深入讨论，如若函数在区间内可积，则其积分函数连续，且积分结果等于被积函数在该区间上的积分。还涉及到了如何通过二阶导数判断函数的拐点，即找到函数导数等于零的点，且该点两侧导数符号改变时，这个点就构成了拐点。 数列与子列的收敛关系是另一个重要内容，其中提到如果一个数列收敛于某个特定值，那么它的所有子数列也会收敛到相同的极限。反之，如果一个数列有两个子数列收敛于不同的值，则该数列本身必然是发散的。最后，笔记提到了无界函数的反常积分，即当函数在某区间连续但瑕点处极限存在时，这种积分被称为收敛的，其极限有特定的定义。 这份笔记不仅包括理论知识，还有历年考研真题的分析，对于备考考研数学三的学生来说，是十分宝贵的参考资料。通过学习这些内容，考生能够巩固函数、极限和连续的基础，提升解题能力，提高应对考试挑战的信心。