最小工作时间：偷懒工人动态规划优化任务

"偷懒的工人-ACM动态规划"是一篇关于解决特定任务优化问题的文章，来源于《算法艺术与信息学竞赛》中的45道动态规划题目之一。问题背景设定在一个公司A，其员工在遵循规定的同时追求效率，即在完成n个任务时，每个任务t_i需在时间区间[ai, di]内执行，且同一时间只能进行一个任务。员工目标是找到最佳任务安排策略，以确保工作时间最短，同时满足任务的执行条件。 动态规划在此问题中的应用体现在设计一个状态转移方程来解决。主要关注以下几个关键知识点： 1. **定义**：题目定义了任务的执行规则，即任务之间需按特定顺序执行，并且每个任务都有固定的执行时间窗口。非规则序列通过添加括号使其成为规则序列，这涉及到最小添加括号的问题，是一个经典的动态规划问题。 2. **状态表示**：使用d[i,j]来表示子串i到j所需的最少括号添加数，这是动态规划状态变量，用来跟踪从i到j的最优化解决方案。 3. **状态转移**：状态转移方程描述了如何根据子问题的解来构建整体解的过程。具体来说： - 当子串S的形式为(S')或[S']时，表示两个规则序列相连接，需要考虑它们本身的括号需求，即d[i+1,j-1]。 - 如果S的形式为(S'或[S']，意味着有一个或多个选项可以选择，所以需要加上一个括号，因此为d[i+1,j] + 1。 - 对于形式为S'或者S'的子串，表示分支的选择，左边的子串可能需要更多的括号，所以为d[i,j-1] + 1。 - 对于长度大于1的子串，意味着至少需要添加一个括号，所以为d[i,k] + d[k]，其中k为某个中间位置。 4. **问题类型**：这个问题属于贪心策略和最优子结构问题，可以通过计算子问题的最小子集最优解来逐步推导出全局最优解。动态规划的这种自底向上的方法有助于避免重复计算，提高效率。 5. **应用场景**：除了理论上的问题探讨，这类算法在实际场景中可能涉及任务调度、代码重构、数据压缩等领域，比如括号平衡、文本格式化等。 解决这类问题的关键在于理解问题的状态定义、状态之间的依赖关系以及如何利用这些关系建立递归或迭代的动态规划算法。通过这种方法，可以找出在给定约束下最节省时间的工作计划，体现了动态规划在优化问题中的强大应用价值。