动态规划解析：01背包与完全背包策略

"CJ2-10-动态规划-背包方案和背包综合练习.pdf" 本文主要探讨了动态规划在解决背包问题中的应用，包括01背包和完全背包两种经典问题。动态规划是一种优化方法，通过解决子问题并存储结果来避免重复计算，从而有效地解决复杂问题。 01背包问题描述了有N件物品和一个容量为V的背包，每件物品有自己的重量wi和价值ci。目标是选择物品使得放入背包中的物品总价值最大，但总重量不超过背包的容量。该问题的关键在于定义子问题并建立状态转移方程。子问题可以表述为：将前i件物品放入容量为j的背包中能获得的最大价值。状态转移方程是： 1. 如果背包容量j足够放下第i件物品（j >= wi），那么可以选择放或不放第i件物品，此时的最大价值f[j]是两个情况中较大的一个：不放第i件物品的最大价值f[j-wi]+ci或只放前i-1件物品的最大价值f[j]。 2. 如果背包容量不足以放下第i件物品，只能选择不放第i件物品，最大价值就是前i-1件物品的最大价值f[j]。 对于01背包问题，初始化状态通常是所有非0容量的f[j]设为负无穷，表示没有物品时无法装满背包。当要求恰好装满时，背包容量为0的情况下的最大价值设为0，其余设为负无穷。如果不要求恰好装满，所有初始值可以设为0。 完全背包问题与01背包类似，不同之处在于每种物品可以选取任意数量，即每种物品的重量可以无限次放入背包。因此，状态转移方程会考虑到放置多件第i件物品的情况。子问题变为：将前i件物品放入容量为v的背包中。状态转移方程会同时考虑放0件、1件、2件...第i件物品的情况，直到背包无法再放入更多的第i件物品为止。初始值和递推过程与01背包相似，但通常不需要考虑是否必须装满背包。 完全背包的空间优化策略是滚动数组，即使用一维数组代替二维数组来存储中间结果，减少空间需求。因为每次更新都是基于前一行的状态，所以可以只保留上一行的状态，这样可以将空间复杂度降低到O(V)。 动态规划的解决方案在处理背包问题时能有效地避免回溯，通过自底向上的方式计算出最优解。这种方法对于大规模数据尤其有效，因为它避免了大量的重复计算，显著提高了算法的效率。无论是01背包还是完全背包，理解子问题的定义和状态转移方程是解决问题的关键。