线性系统理论：有理分式矩阵的史密斯-麦克米伦形分析

"线性理论课件.ppt" 线性多变量系统是控制理论中的核心研究领域，这门学科主要关注的是由多个变量相互关联、相互影响的系统。在本课件中，重点讨论了线性系统的状态空间描述、运动分析、能控性和能观测性、稳定性和时间域综合等内容。选用的教材是郑大钟的《线性系统理论》，并参考了陈启宗的《线性系统理论与设计》和何关钰的《线性控制系统理论》。 线性系统的概念是基于叠加原理的，即系统的输出是输入的线性组合。在处理有理分式矩阵G(s)时，课件提到了一个重要的结论：对于q×p的有理分式矩阵，存在q×q和p×p的单模矩阵U(s)和V(s)，使得通过这些矩阵变换后的传递函数矩阵U(s)G(s)V(s)成为史密斯-麦克米伦形（Smith-McMillan form）。史密斯-麦克米伦形是线性系统理论中的一个重要工具，它提供了分析和理解系统特性的一种方式。 史密斯-麦克米伦形有以下基本特性： 1. 对于给定的有理分式矩阵G(s)，其史密斯-麦克米伦形M(s)是唯一的。 2. 单模变换矩阵对{U(s), V(s)}的选择不是唯一的，这意味着可以有不同的方式将G(s)转换为史密斯-麦克米伦形。 3. 严格有理分式矩阵G(s)的史密斯-麦克米伦形M(s)可能不保持严格的真属性，即M(s)可能存在非真的分母多项式。 4. 当G(s)是非奇异的q×q有理分式矩阵时，存在特定的变换，如文中提到的a为非零常数的情况。 在动态系统分析中，系统变量被分为输出变量、内部状态变量和输入变量。动态系统的数学描述通常包括输出方程和状态方程，可以是连续时间系统（CTDS）或离散时间系统（DTDS），以及连续变量动态系统（CVDS）或离散事件动态系统（DEDS）。线性系统的模型可以用微分方程、差分方程或者状态空间方程来表示，模型的建立旨在反映系统的本质特性，并用于系统分析、设计和控制。 线性系统理论的研究包括系统的能控性、能观测性和稳定性分析。能控性是指能否通过外部输入使系统达到任意期望的状态；能观测性则是指能否通过系统输出确定系统的内部状态；稳定性则关注系统是否能够保持稳定的行为，不受小扰动的影响。 线性系统理论是一门深入研究线性动态系统性质和行为的学科，涉及系统模型的建立、分析和综合，以及如何通过控制理论的方法改善系统性能。这一领域的研究对自动化、航空航天、电力系统、通信等多个工程领域都具有重要的实际应用价值。