多分辨率分析与数字通信：信号分解与小波变换

"多分辨率分析是现代信号处理中的一个重要概念，尤其在小波变换和多采样率信号处理中起到关键作用。胡广书的《现代信号处理》对此进行了深入探讨，书中涉及到了时-频分析、信号抽取与插值以及小波变换等多个主题。这些内容相互关联，为理解和应用提供了全面的理论基础。" 本文主要围绕多分辨率分析展开，首先通过信号的分解近似来阐述其基本思想。给定一个连续信号 \( t(x) \)，可以使用不同基函数和不同分辨率进行近似。例如，选取单位阶跃函数 \( \phi(t) \) 及其整数位移作为基函数，它们满足正交性关系 \( \int_{-\infty}^{\infty} \phi_k(t) \phi_l(t) dt = \delta_{kl} \)。这样的基函数集合构成了一个正交基，可以将信号 \( t(x) \) 在该基下的投影表示为 \( t_P^{(0)}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k \phi_k(t) \)，其中 \( a_k \) 是对应的系数。 第一篇内容主要关注非平稳信号的时-频分析，包括短时傅立叶变换、Gabor展开、Wigner分布和Cohen类分布。Wigner分布是一种时-频分析方法，能同时展示信号在时间和频率上的分布，但存在交叉项问题。Cohen类分布通过核函数抑制交叉项，改善了Wigner分布的表现。 第二篇涉及信号的抽取和插值技术，以及多相表示和滤波器组。信号抽取和插值用于改变信号的采样率，而滤波器组则用于信号的频谱划分。QMF滤波器组和Lattice结构是实现多采样率系统的关键，它们确保信号能在不同采样率下准确重建。 第三篇则深入到小波变换，这是多分辨率分析的核心。小波变换提供了一种灵活的时-频表示，可以通过离散小波变换进行分析，并通过多分辨率分析实现离散小波的构造。正交小波和双正交小波的讨论进一步完善了小波理论，而小波包则扩展了小波变换的应用范围。 胡广书的《现代信号处理》结合了理论和实践，涵盖了从基础的时-频分析到复杂的小波变换的广泛内容，对于学习和研究信号处理的读者来说是一份宝贵的参考资料。书中不仅讲解了基本概念，还提供了实用的算法和实现方法，适合于研究生课程或自我学习。