"第09章 插值与拟合：代数插值方法及其应用"

第09章 插值与拟合1；第九章 插值与拟合插值：求过已知有限个数据点的近似函数。拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。插值;-175- 第九章 插值与拟合 插值：求过已知有限个数据点的近似函数。 拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。 插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。 §1 插值方法 下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。 1.1 拉格朗日多项式插值 1.1.1 插值多项式 用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。其基本问题是：已知函数)(xf在区间],[ba上1 n个不同点nxxx,,,10L处的函数值)(iixfy =),,1,0(niL=，求一个至多n 次多项式 nnnxaxaax =L10)(ϕ （1） 使其在给定点处与)(xf同值，即满足插值条件 ),,1,0()()(niyxfxiiinL===ϕ ; 插值方法是一种数学方法，用于求取经过已知有限个数据点的近似函数。拟合方法则是求取一个近似函数，该函数在已知数据点上的总偏差最小，不一定要经过这些数据点。插值和拟合虽然都是构造近似函数，但由于要求的不同，它们在数学方法上是完全不同的。 在实际问题中，究竟应该使用插值方法还是拟合方法，并不总是明显的。有时可以容易确定，有时则需要根据具体情况进行判断和选择。 本章主要介绍了几种常用的插值方法，包括拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。 拉格朗日多项式插值是一种常用的插值方法，其基本思想是通过构造一个多项式来逼近已知数据点，使得该多项式在给定点处与已知函数具有相同的值。 牛顿插值方法也是一种常用的插值方法，它采用了差商的概念，通过计算差商来构造一个多项式来逼近已知数据点。 分段线性插值方法将插值区间划分成若干个小区间，然后在每个小区间内用线性函数来逼近已知数据点。 Hermite 插值方法则是通过已知数据点的函数值和导数值来构造一个多项式近似函数。 三次样条插值是一种更加复杂的插值方法，它利用三次样条函数的性质，在给定的数据点上构造一个满足一定条件的三次多项式函数。 除了插值方法之外，本章还介绍了拟合方法，拟合方法不要求函数经过已知数据点，而是要求在这些点上的总偏差最小。拟合方法可以使用最小二乘拟合等数学方法来求取近似函数。 总的来说，插值和拟合方法都是根据一组数据构造一个近似函数，但由于近似的要求不同，所以它们在数学方法上是完全不同的。在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的方法。