线性回归与最优化：多变量情形及梯度下降

"这篇资料主要讲述了在机器学习中的线性回归和最优化方法，特别是针对多个变量的情况。课程涵盖了从简单的线性回归模型到多元线性回归，以及最优化技术如梯度下降、牛顿法和拟牛顿法。此外，还提到了参数学习算法与非参数学习算法的区别，并讲解了局部加权线性回归和Logistic回归的相关概念。" 在多变量情形下，线性回归是分析两个或更多变量之间关系的统计方法。线性回归模型通常以直线的形式表示，例如 \( y = \theta_1x_1 + \theta_2x_2 \)，其中 \( \theta_1 \) 和 \( \theta_2 \) 是模型参数，\( x_1 \) 和 \( x_2 \) 是输入变量，\( y \) 是预测的输出。在有多个变量的情况下，模型会扩展为更高维度的超平面。 最小二乘法是线性回归中常用的目标函数优化方法，它通过最小化所有样本点与回归超平面之间的误差平方和来确定最优参数。误差函数通常是假设噪声服从均值为0的高斯分布下的极大似然估计。 最优化问题在机器学习中至关重要。资料中提到了几种常用的优化算法，包括梯度下降法，这是一种迭代方法，通过沿着目标函数梯度的负方向更新参数以逐步减小损失。批处理梯度下降和随机梯度下降是梯度下降的两种变体，前者每次更新基于所有样本，而后者仅使用一个样本。在某些情况下，如数据量大或XTX矩阵不可逆时，可能需要使用梯度下降求解参数。 对于线性回归，如果XTX可逆，可以解析地求得参数 \( \theta \) 的最优解，这通常通过求解正规方程组实现。然而，当问题规模过大或XTX不可逆时，数值方法如梯度下降仍然是首选。 除了传统的线性回归，资料还提到了局部加权线性回归（LWR），这是一种非参数方法，它在预测时根据样本点与待预测点的距离赋予不同的权重，这种方法特别适用于非平稳数据。 同时，资料还介绍了Logistic回归，这是一种用于分类问题的线性模型，其预测结果是概率值。Logistic函数被用作激活函数，以确保输出在0到1之间。通过最大化对数似然函数，可以估计Logistic回归的参数，这一过程通常通过迭代算法完成，例如梯度上升法。 这份资料深入浅出地讲解了线性回归和最优化在多个变量情况下的应用，同时也探讨了参数学习和非参数学习的区别，以及在实际问题中如何选择和实施适当的模型。