模形式与矩阵补全：奇异值阈值算法解析

"李文威的模形式初步:2018-11-23草稿版" 这篇文档是李文威所著的关于模形式的初步介绍，内容涵盖模形式的基本定义、案例研究、模曲线的解析理论以及Hecke算子的相关知识。模形式在数论中扮演着重要角色，特别是在理解椭圆曲线、自守形式和L-函数等领域。 首先，文档阐述了复平面上的变换、圆盘模型和线性分式变换的不动点，这些都是构建模形式理论的基础。接着，讨论了同余子群、尖点和基本区域的概念，这些是模形式定义的数学背景，与整权模形式密切相关。整权模形式是权为整数的特殊函数，它们在特定的复平面区域上满足一定的周期性和边界条件。 在案例研究部分，文档介绍了 Γ 函数和Riemann ζ 函数，这两个都是经典的无穷级数，与模形式有着深刻联系。Eisenstein级数被详细探讨，特别是对于Γ=SL(2,ℤ)的情况，它们在模形式理论中起着关键作用。此外，还讨论了颚式函数(E2, η, Δ, 和 j函数)，这些函数在模形式的表示和性质中占有重要地位。 第三章深入到模曲线的解析理论，包括复结构、尖点的添入、Siegel定理及其在模曲线紧化中的应用。这一部分还涉及到了算术子群和四元数的讨论，为理解模形式的一般定义提供了基础。Petersson内积的介绍则关联了模形式的分析性质与代数结构。 第四章主要关注模形式的维数公式及其应用，如计算除子类、亏格公式和维数公式，这些都是模形式空间的几何特性。此外，还包括了亚纯模形式的存在性和奇偶权维数公式，这些都是模形式理论的核心内容。 最后，文档详细讲解了Hecke算子，这是研究模形式的重要工具。Hecke算子通过双陪集和卷积来定义，与Hermite内积有紧密关系，并且可以用来分类模形式。在SL(2,ℤ)情形下，引入了Hall代数的概念，并探讨了特征形式和旧形式、新形式的区分。 总结来说，这份文档为读者提供了一个模形式的全面入门，涵盖了从基本概念到高级理论的诸多方面，是理解这一深奥数学领域的宝贵资料。