积极集识别的模松弛SQP算法在约束优化中的强收敛性分析

"这篇文章是2013年发表在《工程数学中文期刊》上的一篇自然科学论文，作者包括刘毅、贾金宝和黄宗文等人。文章关注的是非线性不等式约束优化问题的解决，提出了一种结合模松弛SQP方法、强次可行方向法以及积极集识别技术的SQP算法。该算法在迭代过程中，模松弛二次规划子问题的约束数量仅依赖于识别集。通过避免引入罚参数的线搜索策略，将初始化阶段（阶段I）和优化阶段（阶段Ⅱ）统一处理。在满足某些条件的情况下，如MFCQ条件，算法确保了全局收敛性，如果满足二阶充分条件，算法则具备强收敛性。此外，积极集识别技术能够准确识别出积极约束集。文中还提供了初步的数值实验结果来验证算法的性能。" 这篇论文的核心内容涉及到以下几个关键知识点： 1. **非线性不等式约束优化问题**：这是优化理论中的一个重要问题，目标是在满足一组非线性不等式约束的条件下，找到目标函数的最优解。 2. **模松弛SQP（Sequential Quadratic Programming）方法**：SQP是一种广泛使用的优化算法，它通过将非线性问题转化为一系列二次规划问题来求解。模松弛是指在二次规划中对不等式约束进行松弛，以降低问题的复杂性。 3. **强次可行方向法**：这种方法用于寻找在当前解附近的强次可行方向，即不仅满足约束，而且在一定程度上改善目标函数的梯度。 4. **积极集识别技术**：在约束优化中，积极集是指满足不等式约束的变量集合。识别积极集是理解问题结构和提高算法效率的关键，因为它可以减少需要考虑的约束数量。 5. **无罚参数线搜索**：传统的SQP算法通常会使用罚参数来平衡约束违反和目标函数的优化。本文提出的方法无需这种参数，通过线搜索技术就能处理初始化和优化过程。 6. **全局收敛性和强收敛性**：全局收敛性意味着无论初始解如何，算法都能保证收敛到问题的全局最优解。而强收敛性指的是算法的收敛速度较快，能够快速接近最优解。 7. **MFCQ（ Mangasarian-Fromovitz Constraint Qualification）条件**：这是优化问题中一个常用的充分条件，它确保了局部最优解的存在性和唯一性，同时也是许多算法收敛性证明的基础。 8. **数值实验**：论文通过数值实验验证了提出的算法在实际问题中的表现，这是评估算法有效性和效率的重要步骤。 这篇论文提出了一种创新的SQP算法，它结合了多种技术来优化非线性约束问题，具有良好的收敛性质，并在实际应用中展示了其潜力。