压缩传感入门：探索信号处理的新境界

"这篇文档是香港大学电机电子工程学系高效计算方法研究小组成员沙威在2008年撰写的一篇关于压缩传感的入门教程。文中提到了压缩感知是信号处理领域的一个重要概念，作者希望通过这篇教程帮助初学者理解和进入这个领域。文章涉及到的知识点包括矩阵分析、统计概率论、拓扑几何、优化与运筹学、泛函分析、时谐分析（如傅里叶变换、小波变换等）、信号处理和图像处理等多个方面。" 压缩感知（Compressive Sensing）是一种革命性的信号处理技术，它改变了传统的采样理论，允许以远低于奈奎斯特定理所规定的速率来获取信号。在传统信号处理中，正交变换如傅里叶变换被用来将信号从时域转换到频域，以便于分析和压缩。然而，压缩感知理论指出，对于大部分真实世界信号，它们在稀疏表示域内是高度稀疏的，即大部分元素为零或接近零。 压缩传感的核心思想是利用信号的稀疏性，通过非正交的测量矩阵直接获取信号的压缩样本，然后通过算法恢复原始信号。这减少了数据采集的复杂性和成本，尤其在高维信号处理中具有显著优势。这一理论的出现，部分归功于数学家陶哲轩和统计学家David Donoho的工作。 统计概率论在此中的作用在于理解信号的随机性和不确定性，以及如何在测量过程中有效地捕获信号的主要特征。拓扑几何则帮助理解信号在高维空间中的结构和形状，这对于构建有效的恢复算法至关重要。优化与运筹学则用于设计寻找最佳信号解的算法，如凸优化问题。 泛函分析在压缩传感中用于研究信号的表示和处理，尤其是在不同变换域下的性质。时谐分析，包括傅里叶变换、小波变换和方向性小波变换，提供了信号在时间-频率域内的解析工具，这些工具在信号的特征提取和压缩中起到关键作用。而信号处理和图像处理是应用压缩感知技术的两个主要领域，它们受益于压缩传感在数据采集和恢复上的效率提升。 总而言之，压缩传感是一个多学科交叉的领域，融合了数学、统计学和工程学的知识，为信号处理带来了新的视角和解决方案。这篇教程旨在引导读者踏入这个充满挑战和机遇的领域，鼓励他们深入探索压缩感知的潜力及其在实际问题中的应用。