山东大学数字图像处理作业解析：滤波、旋转与傅里叶变换

"这是一份关于山东大学数字图像处理课程的考试前作业，涵盖了图像存储、空间域滤波、像素坐标变换、图像放大与重采样、傅里叶变换等多个核心知识点。" 这份作业主要涉及了数字图像处理的基础概念和常见操作，下面将逐一详细阐述： 1. 图像存储与像素访问：在8位3通道彩色图像中，每个像素由红、绿、蓝三个通道组成，每个通道用8位表示。假设I(0,0)的内存地址为data，那么像素I(x,y)的地址可以通过偏移计算得出。由于步长（step）可能包含额外的字节（如行填充），所以地址计算为`data + y * step + x * 3`。如果已知像素I(x,y)的内存地址为ptr，其8邻域像素地址可以通过在x和y方向上加减1来获取，注意考虑边界条件。 2. 空间域线性滤波器：滤波器的一般形式表示为像素的加权和。其中，(u, v)是滤波器中心相对于当前像素的位置，w(s, t)是滤波核，它定义了相邻像素对目标像素的影响程度。平滑滤波器（如高斯滤波器）通常使用较大的权重值在邻近像素间平均，减少噪声；锐化滤波器（如拉普拉斯算子）则增强边缘，通常权重在边缘处较大，而在其他区域较小。例如，高斯滤波器用于降噪，拉普拉斯算子用于边缘检测。 3. 像素坐标变换：逆时针旋转的公式是基于笛卡尔坐标系的，而齐次坐标变换矩阵可以更方便地处理旋转和平移。对于旋转，矩阵为`[cosθ -sinθ; sinθ cosθ]`；平移dx, dy的矩阵为`[1 0 dx; 0 1 dy; 0 0 1]`；以(u, v)为中心旋转的矩阵先进行平移到原点，再旋转，最后反向平移回去。 4. 图像放大与重采样：双线性插值是一种常用的放大方法，通过线性内插来估计新位置的像素值。对于宽度和高度分别放大2倍的函数，相比于通用的放大任意倍数的实现，专门的函数可能会有更高的效率，因为它可以针对特定倍数优化算法，例如减少不必要的计算或存储需求。 5. 傅里叶变换：傅里叶变换将图像从空间域转换到频率域，用于分析图像的频谱特性。当f(x,y)为常数时，其傅里叶变换F(u,v)也是常数，表示没有频率成分。傅里叶变换是线性的，因为它保持了线性组合的性质，即两个图像的傅里叶变换的线性组合等于这两个图像傅里叶变换的线性组合。对于M=3, N=1的情况，所有实数基是三个水平、垂直和对角线方向的基函数。 这些知识点构成了数字图像处理的基础，理解和掌握它们对于深入学习图像处理技术至关重要。