SPFA算法详解与实现

"SPFA算法模板用于解决单源最短路问题，由西南交通大学的段凡丁在1994年提出。它适用于包含负权重边的图，比Dijkstra算法更适合，同时效率高于Bellman-Ford算法。" SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）算法是一种解决图论中的单源最短路径问题的算法，尤其适用于存在负权重边的图。Dijkstra算法在遇到负权重时无法得到正确结果，而Bellman-Ford算法虽然能处理负权重但时间复杂度较高，相比之下，SPFA算法在效率上有一定的优势。 SPFA算法基于贝尔曼-福特算法的思想，采用了队列数据结构来优化。其主要步骤如下： 1. 初始化：为所有顶点分配无穷大距离（通常用`inf`表示），源点距离设为0，用一个布尔数组`v`记录顶点是否在队列中，用一个计数数组`s`记录顶点入队次数。 2. 将源点加入队列，并标记源点为已访问。 3. 使用循环处理队列中的顶点，直到队列为空。每次取出队首元素`x`，将其标记为未访问。 4. 遍历与`x`相邻的所有边，更新目标节点`u`的距离。如果新的路径长度小于当前记录的距离，就更新距离，并将未访问的目标节点`u`加入队列。同时，增加`u`的入队次数。 5. 如果某个顶点入队次数达到顶点总数`n`，说明可能存在负权重环，返回0表示图有负权重环；否则，继续处理队列。 6. 循环结束后，如果没有发现负权重环，返回1，此时`dis[]`数组存储了从源点到各个顶点的最短路径长度。 给出的代码实现中，`_make_map`函数用于构建邻接链表表示的图，`make_map`函数用于构建无向图，`spfa`函数是SPFA算法的主要部分。在`spfa`函数中，使用一个模`maxn`的队列`list`来存储待处理的顶点，`head`和`tail`分别表示队头和队尾指针。在循环中，不断从队列中取出顶点并更新其邻居的距离，同时检查负权重环的存在。 SPFA算法是一种实用的单源最短路算法，尤其在处理含有负权重边的图时，其效率优于其他一些方法。然而，由于它依赖于队列的数据结构，可能会出现松弛操作的重复，因此它并不保证是最佳的最短路径算法，但在实际应用中通常能获得较好的性能。