线性回归与最优化方法-梯度下降与θ解析解

"这篇资料主要讲解了线性回归与最优化方法，包括线性回归、Logistic回归以及一系列最优化算法的应用。课程由北京10月机器学习班的邹博主讲，涵盖了从基础的直线和线段表示到复杂的梯度下降、牛顿法和拟牛顿法。同时，资料还探讨了参数学习与非参数学习的区别，并以线性回归为例，详述了参数θ的解析式求解过程。" 线性回归是统计学和机器学习中的基本概念，通常用于预测连续变量。线性回归模型简单明了，假设因变量与自变量之间存在线性关系，如y = ax + b，其中a和b是待求参数。在多变量情况下，模型变为y = θ1x1 + θ2x2 + ... + θnxn，其中θi代表每个特征的权重。 为了找到最佳的参数θ，我们通常采用最小二乘法，构建误差函数（例如平方误差和），目标是最小化这个误差函数。这可以通过求导数等于0来解决，即求解导数J'(θ)=0的解析式。然而，当XTX矩阵不可逆或维度过高时，解析解难以计算或不适用，此时需采用数值方法，如梯度下降。 梯度下降是一种迭代优化算法，初始时随机设定参数θ，然后沿着损失函数梯度的反方向更新参数，直到损失函数达到最小值。梯度下降分为批处理梯度下降和随机梯度下降两种，前者每次迭代使用全部样本，而后者仅使用一个样本，适用于大数据集，能更快地收敛。 此外，资料还提到了局部加权线性回归（LWR），这是一种非参数方法，通过赋予不同距离的训练样本不同的权重来适应局部数据结构。权重通常与样本与预测点的距离成负相关，带宽τ控制这种衰减速率。 资料还简要介绍了非参数学习算法与参数学习算法的对比，强调了它们在模型复杂性和灵活性上的差异。Logistic回归是另一种重要的分类模型，利用Logistic函数进行概率估计，通过最大似然估计或梯度上升法求解参数。Logistic回归模型在处理二分类问题时非常有效，其参数迭代过程涉及对数似然函数的优化。 这份资料深入浅出地介绍了线性回归和最优化技术，包括理论与实践，对于理解和应用这些方法有着极大的帮助。