北航公共课：2012数值分析中幂法与反幂法的特征值计算

本资源是关于北京航空航天大学数学与系统科学学院教授朱立永的一门公共课——数值分析课程的教学内容，主要聚焦在第七讲上，讨论了矩阵特征值与特征向量的计算，特别是通过幂法和反幂法进行求解。幂法和反幂法是数值线性代数中用于近似求解矩阵特征值的经典算法，它们在处理大规模矩阵问题时具有较高的效率。 幂法基于迭代过程，通过构造一系列相似变换逐步逼近矩阵的特征向量和特征值。这种方法特别适用于寻找最大或最小特征值，以及对应的特征向量。反幂法则是在幂法的基础上进行改进，它通常用于寻找特定的特征值，如精确到指定精度或者在矩阵的特定区域寻找特征值。 在课程中，学生首先学习了特征多项式的定义，这是矩阵特征值的代数基础，特征多项式的根就是矩阵的特征值。特征值的计算不仅涉及矩阵的运算，还应用广泛，例如在工程领域，求固有振动频率、机械系统的振动频谱和稳定性分析，以及物理学中的临界值确定等。 例1展示了如何使用幂法和反幂法来求解具体矩阵的特征值和特征向量，通过实际问题展示了理论的运用。学生需要理解并掌握如何设置初始向量、迭代步骤以及如何判断收敛性，这些都是幂法和反幂法实施的关键。 定理1涉及到特征值的性质，如特征值的行列式和迹的关系，这对于理解特征值的几何意义和计算特征向量的方向非常重要。通过这些理论，学生可以深入理解数值分析中矩阵特征值问题的求解策略，并能在实践中灵活运用。 在整个课程中，朱立永教授还安排了答疑时间，帮助学生解答在学习过程中遇到的问题，确保他们对幂法和反幂法有深入的理解和掌握。这门课程不仅教授理论知识，更注重培养学生的实践能力和问题解决能力。