lu分解的反幂法matlab程序,北航数值分析大作业一

以下是使用 MATLAB 实现的 LU 分解的反幂法程序：

function [lambda, x] = inv_lu_power(A, x0, tol, max_iter)
% LU 分解的反幂法求矩阵 A 的最小特征值和对应的特征向量
% A: 输入矩阵
% x0: 初始向量
% tol: 容差
% max_iter: 最大迭代次数
% lambda: 最小特征值
% x: 对应的特征向量

% LU 分解
[L, U] = lu(A);

% 反幂法迭代
x = x0 / norm(x0);
lambda = 0;
iter = 0;
while iter < max_iter
    y = U \ (L \ x);
    lambda_new = x' * y;
    if abs(lambda_new - lambda) < tol
        break;
    end
    lambda = lambda_new;
    x = y / norm(y);
    iter = iter + 1;
end

if iter >= max_iter
    fprintf('达到最大迭代次数 %d，未达到容差 %g\n', max_iter, tol);
end

其中 `A` 是输入矩阵，`x0` 是初始向量，`tol` 是容差，`max_iter` 是最大迭代次数。函数返回最小特征值 `lambda` 和对应的特征向量 `x`。

在函数中，首先使用 `lu` 函数对矩阵 `A` 进行 LU 分解，然后进行反幂法迭代，直到达到容差或最大迭代次数为止。迭代过程中，求解方程组 $Ly = x$ 和 $Uz = y$，然后计算特征值和特征向量。最后，如果达到最大迭代次数但未达到容差，输出提示信息。