数值分析：幂法与反幂法求特征值向量与LU分解应用

本次数值分析课程的大作业涉及到幂法和反幂法在求解特征值和特征向量中的应用。作业内容主要包括矩阵A的高效存储、算法设计以及源程序实现。 首先，矩阵A由于具有带状特性，上下带宽为s，且零元素众多，因此采用压缩存储方式，通过一个5xn的C矩阵来表示，这样能够节省大量内存。存储时，使用了特定的换算关系，考虑到数组下标从0开始，这在编写程序时需要注意。 程序主要分为两大部分：幂法和反幂法。幂法用于寻找模最大的特征值，通过迭代公式不断逼近该值。当迭代次数k足够大时，矩阵的某个次幂与常数的比值接近于特征值。同时，幂法还计算相应的特征向量。反幂法则用于求解模最小的特征值，每次迭代需要解决一个线性方程组，关键在于利用矩阵的LU分解技术。 为了确保找到最大和最小特征值，作业设计了一种原点平移策略。通过对A矩阵的主对角元素进行移动，然后分别应用幂法和反幂法，如果新得到的模最大特征值满足特定条件，就判断它是最大特征值，反之则是最小特征值。 对于特殊点附近特征值的求取，利用矩阵平移性质，通过带原点平移的反幂法可以在矩阵平移s个单位距离后，相应地追踪特征值的变化，从而获取近似值。 源程序部分包括了必要的头文件引用，如math.h用于数学函数，stdio.h和string.h用于输入输出，stdlib.h提供系统函数。程序的核心部分定义了存储矩阵A、特征向量的数组，并在main函数中初始化这些变量，准备进行特征值的计算。具体到每个子模块，如C数组的初始化、k次向量的记录，以及后续的特征值求解过程，都是为了实现幂法和反幂法算法的完整流程。 这份大作业着重实践了数值分析中的两种关键方法，让学生理解并掌握了如何在实际编程中运用幂法和反幂法来处理大型矩阵的特征值问题，同时也锻炼了学生对矩阵运算、内存管理以及数值计算的理解。