Matlab求解非线性方程组及最小二乘法

该文档介绍了如何在Matlab中求解非线性超定、恰定和欠定方程组，以及非负最小二乘解的方法，并提供了实例展示非线性曲线拟合的过程。 1. **Matlab求解非线性超定方程组** 在Matlab中，当方程个数多于未知数时，我们面临的是非线性超定方程组问题。可以使用`fsolve`函数来解决这类问题。`fsolve`函数需要三个参数：`fun`表示待解方程或方程组的函数句柄，`x0`是初始猜测值，`options`是可选的优化选项，用于设置求解算法的参数。例如： ```matlab x0 = [0.1, 0.1]; options = optimset('fsolve'); x = fsolve(@fun, x0, options); ``` 其中，`@fun`是你定义的包含非线性方程组的函数。 2. **Matlab求解线性方程组** 对于线性方程组`AX=B`或`XA=BA*x1-b`，Matlab提供了`linsolve`函数。例如： ```matlab A = ...; % 系数矩阵 B = ...; % 右边常数项 X = linsolve(A, B); ``` 如果需要以更友好的形式显示结果，可以使用`pretty`函数： ```matlab pretty(X); ``` 3. **欠定方程组的求解** 当方程个数少于未知数时，我们有欠定方程组。在这种情况下，通常无法找到唯一解，但可以通过最小二乘法求得最佳近似解。在Matlab中，可以用`\`运算符或`pinv`函数来解决。例如： ```matlab A = ...; % 系数矩阵 b = ...; % 常数向量 x1 = A \ b; % 采用最小二乘解 x2 = pinv(A) * b; % 同样得到最小二乘解，但使用伪逆矩阵 ``` 如果矩阵欠秩，Matlab会给出警告并返回最小二乘解。 4. **非负最小二乘解** 非负最小二乘解要求解的向量的所有元素都是非负的。Matlab中的`nnls`函数用于找到满足非负约束的最小二乘解。例如： ```matlab A = ...; % 系数矩阵 b = ...; % 常数向量 [X, W] = nnls(A, b); ``` `X`是非负最小二乘解，`W`是对应的残差权重。 5. **非线性曲线拟合** Matlab的优化工具箱提供了`leastsq`函数来进行非线性拟合。用户需要定义数据集和目标函数。例如： ```matlab t = ...; % 数据的x轴 Data = ...; % 数据的y轴 X0 = [1, 1, 1, 1, 1]; % 初始参数猜测 [X, resnorm, residual, exitflag, output] = leastsq(@(a) myfun(a, t, Data), X0); ``` 在这里，`myfun`是用户自定义的函数，表示非线性模型。 通过以上方法，Matlab提供了强大的工具来处理各种类型的方程组求解问题，无论是线性的还是非线性的，超定的、欠定的或是带约束的。理解并熟练运用这些工具对于解决实际问题至关重要。