"计算机图形学基础:第七章 B样条.pdf"
在计算机图形学中,B样条(B-Spline)是一种强大的数学工具,用于构建平滑曲线和曲面。本章详细介绍了B样条的基本概念、特性以及其在形状设计中的应用。B样条的重要性在于它弥补了Bezier曲线的局限性,提供了更灵活且支持局部编辑的几何建模方式。
首先,学习B样条的原因在于,尽管Bezier曲线和曲面在很多情况下非常实用,但它们存在两个主要问题。一是Bezier曲线无法实现局部修改,一旦改变一个控制点,整条曲线都会受到影响。二是Bezier曲线在拼接时难以保证几何连续性,这在创建复杂的几何形状时可能造成不便。1946年,Schoenberg提出的样条方法为解决这些问题迈出了第一步。B样条的出现,是针对Runge-Kutta现象的一种应对策略,即通过分段低阶多项式替代高阶多项式,以避免不稳定的上下抖动。
1972年,Gordon和Riesenfeld基于Schoenberg的工作,发展出B样条理论,并提出了相应的几何算法。B样条不仅保留了Bezier曲线的优点,如易于理解和计算,还克服了其局限性,支持局部编辑和几何连续性的无缝拼接。
理解B样条的关键在于它的构造和性质。B样条曲线的插值可以通过求解三对角线性方程组来实现,这使得计算相对简单。在特定的区间划分上,所有B样条函数构成一个线性空间,其基函数就是B样条基函数。与Bezier曲线的Bernstein基函数类似,B样条曲线采用B样条基函数。这些基函数是由非减的节点向量决定的,每个基函数是分段的k阶多项式。
B样条曲线的数学表达式通常写作:
P(t) = ∑_{i=0}^{n} P_i * N_{i,k}(t)
其中,P_i 是控制点,N_{i,k}(t) 是第i个k阶B样条基函数,t 是参数值。B样条基函数具有局部性,这意味着改变某个控制点只会影响与其相关的基函数部分,从而实现局部编辑。
此外,B样条的阶和度数是两个关键概念。阶(order)指的是基函数的阶数,而度数(degree)是多项式的次数。在实际应用中,如GFarin和LesPiegl的研究所示,度数和阶的选择会影响曲线的平滑度和灵活性。
B样条基函数的计算通常采用deBoor-Cox递推公式,这是一个迭代过程,用于从简单的基函数构建复杂的B样条基函数。节点向量在此过程中起到关键作用,它定义了基函数的分布和行为。
B样条是计算机图形学中的重要工具,它提供了一种高效、灵活且适应性强的方式来构建和编辑复杂的几何形状,广泛应用于CAD、3D建模、动画以及许多其他领域。理解并掌握B样条的理论和算法,对于从事计算机图形学研究或开发的人员至关重要。