精确一维搜索法：对称搜索与逼近策略

"本文档主要介绍了精确一维搜索法中的对称搜索策略，包括Fibonacci法、黄金分割法以及逼近方法和划界法。这些方法在最优化理论和算法中有着广泛应用，旨在寻找目标函数的最小值或最大值。文档内容涵盖了对分搜索、等间隔搜索、对称区间搜索的原理，并重点讲解了对称区间搜索的Fibonacci和黄金分割策略，以及如何通过逼近法和划界法来逐步缩小搜索范围。" 精确一维搜索法是解决最优化问题的关键技术之一，它在许多科学和工程领域都有重要应用。在这些方法中，对称搜索法因其效率高、计算次数少而受到青睐。对分搜索是最基础的搜索策略，每次将搜索区间一分为二，但对称搜索法在此基础上进一步优化，通过选取区间的对称点作为测试点，从而减少函数值的计算次数。 Fibonacci法是基于Fibonacci数列的一种对称搜索策略。Fibonacci数列的特性使得每次迭代时，搜索区间的长度以递减的Fibonacci数列比例进行缩减，从而在保持搜索精度的同时，提高了搜索效率。 黄金分割法则是利用黄金分割比例（约为0.618）来确定搜索区间的分割点。这种方法保证了每次迭代的步长接近黄金分割比例，通常能更快地收敛到最优解。 逼近方法包括插值法、牛顿法和割线法。插值法利用函数的多项式近似来估计极值点；牛顿法则是通过求解函数的一阶导数为零来逼近极值点，其迭代公式涉及到函数的二阶导数；割线法则是在已知两点处构造割线，利用割线的斜率来决定下一次迭代的方向。 划界法是一种结合搜索和逼近的方法，它通过不断更新边界来逐步缩小可能包含最优解的区间。在满足一定终止条件（如达到预设的迭代次数或者搜索区间小于某个阈值）后，最终确定的区间内的中点或边界点即为最优解的估计。 在实际应用中，通常会设定最大迭代次数（如本例中的𝑁𝑚𝑎𝑥=100），并结合函数值判断（如判断函数值的差是否小于给定的容忍度𝑡𝑜𝑙）来控制算法的终止。整个过程中，关键在于如何选择合适的步长（如通过Fibonacci序列或黄金分割比例）以及如何根据函数的性质（如一阶或二阶导数）来优化搜索过程。 总结来说，精确一维搜索法中的对称搜索策略如Fibonacci法和黄金分割法，以及逼近方法和划界法，都是为了更高效地找到目标函数的最优解，它们在实际问题的最优化求解中具有广泛的应用价值。