笛卡尔积分范畴：动机、结构及上下文积分模态

笛卡尔积分范畴与上下文积分范畴的动机和结构研究主要围绕着在理论计算机科学中的一个关键概念——张量积分范畴及其在实际应用中的重要性。微积分，尤其是积分，是数学中最广泛应用的分支之一，对于工程学和物理学至关重要。传统上，微积分的讨论往往侧重于分析方法，但本文探讨的是其代数化的视角，即通过将积分范畴理解为张量积分范畴的coKleisli范畴。 笛卡尔积分范畴的提出旨在提供一种更为抽象且结构化的框架来处理积分问题，类似于coKleisli范畴在计算理论中的作用。coKleisli范畴是函数式编程中的一个核心概念，它描述了一个Monad（monad在函数式编程中是一种模式，用于组合和操纵计算流程）的运作方式。然而，最初的尝试并不总是能够满足作为coKleisli范畴的理想条件，即缺乏必要的结构使得张量积与积分的概念一致。 本文的主要贡献是发现了一个合适的余代数模态，这种模态可以提供足够的结构，使得任何具有伪线性化变换的上下文积分范畴的coKleisli范畴实际上成为一个笛卡尔积分范畴。这一发现具有广泛的应用价值，特别是当涉及线性映射时，它揭示了积分范畴与实际物理和工程问题之间的深刻联系。 关键词包括整范畴、余代数模态、上下文、简单切片和coKleisli范畴，这些概念都是理解本文核心思想的关键术语。作者们利用这些工具来建立一个更加严谨和通用的积分理论框架，挑战了传统的微积分教科书上的直观解释，提供了数学基础的新视角。 总结来说，本文的工作不仅扩展了微积分的代数理论，还对计算理论中的coKleisli范畴进行了深入研究，为未来的理论和应用研究提供了坚实的基础。这项研究成果发表在《理论计算机科学电子笔记》上，并受到NSERC、克拉伦登基金等机构的资助，同时强调了开放获取和版权许可的重要性。