多元正态分布性质:子向量的条件分布
需积分: 43 151 浏览量
更新于2024-07-11
收藏 1.53MB PPT 举报
"该性质揭示了在多元正态分布中,子向量的条件分布保持正态特性。当一个多元正态向量的部分值已知时,剩余部分的条件分布仍是一个多元正态分布,其条件数学期望和偏协方差矩阵可分别表示为特定的数学表达式。"
在统计学和概率论中,多元正态分布是一个重要的概念,特别是在数据分析、机器学习以及许多科学领域中。这个分布描述了一个多维随机变量,其中每个变量都遵循正态分布,并且所有变量之间存在一定的线性相关性。在多元正态分布中,有一个关键的性质:如果一个随机向量\( \mathbf{X} \)是多元正态分布的,那么对于任何固定的向量\( \mathbf{X}_{-j} \)(即除了第\( j \)个分量外的所有分量),向量\( \mathbf{X}_j \)的条件分布仍然是正态分布。
具体来说,设\( \mathbf{X} \)是一个\( p \)-维随机向量,且服从均值为\( \boldsymbol{\mu} \)、协方差矩阵为\( \mathbf{\Sigma} \)的多元正态分布,即\( \mathbf{X} \sim N_p(\boldsymbol{\mu}, \mathbf{\Sigma}) \)。若我们已知\( \mathbf{X}_{-j} \)的值,那么\( \mathbf{X}_j \)的条件分布可以表示为:
\[ \mathbf{X}_j | \mathbf{X}_{-j} \sim N(\boldsymbol{\mu}_j, \mathbf{\Sigma}_{j|{-j}}) \]
其中,\( \boldsymbol{\mu}_j \)是条件数学期望,\( \mathbf{\Sigma}_{j|{-j}} \)是偏协方差矩阵。
条件数学期望\( \boldsymbol{\mu}_j \)可以通过以下方式计算:
\[ \boldsymbol{\mu}_j = \boldsymbol{\mu} + \mathbf{\Sigma}_{j,-j} \mathbf{\Sigma}_{-j,-j}^{-1} (\mathbf{X}_{-j} - \boldsymbol{\mu}_{-j}) \]
这里,\( \mathbf{\Sigma}_{j,-j} \)表示\( \mathbf{\Sigma} \)的第\( j \)行第\( -j \)列子矩阵,\( \mathbf{\Sigma}_{-j,-j} \)是\( \mathbf{\Sigma} \)除去第\( j \)行和第\( j \)列后的子矩阵,\( \boldsymbol{\mu}_{-j} \)是\( \boldsymbol{\mu} \)中除第\( j \)个分量外的其他分量组成的向量。
而偏协方差矩阵\( \mathbf{\Sigma}_{j|{-j}} \)则表示在已知\( \mathbf{X}_{-j} \)的情况下,\( \mathbf{X}_j \)的方差和\( \mathbf{X}_{-j} \)的协方差,其元素可以表示为:
\[ \mathbf{\Sigma}_{ij|{-j}} = \mathbf{\Sigma}_{ij} - \mathbf{\Sigma}_{ij,-j} \mathbf{\Sigma}_{-j,-j}^{-1} \mathbf{\Sigma}_{-ji} \]
这个性质对于理解和应用多元正态分布至关重要,因为它允许我们在部分信息已知时对未知部分进行概率推断。例如,在回归分析、贝叶斯统计和条件概率计算中,这种条件分布的正态性使得我们可以方便地进行预测和参数估计。
在实际应用中,多元正态分布经常用于描述具有相关性的多个变量的联合分布,如金融市场的股票收益率、气象数据中的温度和湿度等。通过理解并利用这个性质,我们可以更好地理解和建模这些复杂系统的统计特性。
2010-05-11 上传
2021-10-14 上传
2024-01-07 上传
2023-07-23 上传
2023-09-03 上传
2023-06-11 上传
2023-06-26 上传
2023-08-05 上传
2024-03-19 上传
![](https://profile-avatar.csdnimg.cn/bc729d378e924857857fa9334e467b9b_weixin_42183453.jpg!1)
巴黎巨星岬太郎
- 粉丝: 18
- 资源: 2万+
最新资源
- Hadoop生态系统与MapReduce详解
- MDS系列三相整流桥模块技术规格与特性
- MFC编程:指针与句柄获取全面解析
- LM06:多模4G高速数据模块,支持GSM至TD-LTE
- 使用Gradle与Nexus构建私有仓库
- JAVA编程规范指南:命名规则与文件样式
- EMC VNX5500 存储系统日常维护指南
- 大数据驱动的互联网用户体验深度管理策略
- 改进型Booth算法:32位浮点阵列乘法器的高速设计与算法比较
- H3CNE网络认证重点知识整理
- Linux环境下MongoDB的详细安装教程
- 压缩文法的等价变换与多余规则删除
- BRMS入门指南:JBOSS安装与基础操作详解
- Win7环境下Android开发环境配置全攻略
- SHT10 C语言程序与LCD1602显示实例及精度校准
- 反垃圾邮件技术:现状与前景