吉林大学ACM算法详解：从图论到网络流全面解析

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吉林ACM算法是一份详尽的计算机科学教材，专注于吉林大学计算机科学与技术学院2005级学生在2007-2008学年的算法学习资料。这份文档涵盖了广泛的问题解决方法，主要集中在图论、网络流和数据结构等领域。在图论部分，算法涉及了多种核心概念： 1. **DAG深度优先搜索标记**：用于标记图中的节点，便于后续遍历或查找。 2. **无向图找桥**：寻找连接不同连通分量的关键边，理解图的结构性质。 3. **连通度与割**：研究图的连通性，包括无向图的联通分支和割的概念。 4. **最大团问题**：通过动态规划和深度优先搜索算法找到图的最大团。 5. **欧拉路径与欧拉环**：识别是否存在可以通过所有边恰好一次的路径或环。 6. **迪杰斯特拉算法**：用于单源最短路径问题，包括两种时间复杂度版本。 7. **贝尔曼-福特算法**：处理负权边的单源最短路径问题。 8. **SPFA**：更高效的最短路径算法，适用于有负权边的情况。 9. **第K短路**：扩展的最短路径问题，如A*搜索算法。 10. **Prim算法**：用于寻找最小生成树，以边的数量衡量。 11. **最小生成森林问题**：生成满足特定条件的最小树集合。 12. **有向图最小树形图**：构造有向图的最小树表示。 13. **最小Steiner树**：在给定顶点集中找最小连接所有顶点的树。 14. **强连通分量**：确定图中相互可达的顶点集合。 15. **弦图与完美消除点排列**：分析图的特殊结构和相关性质。 16. **稳定婚姻问题**：经典组合优化问题，用匈牙利算法求解。 17. **拓扑排序**：对有向无环图进行排序，展示依赖关系。在网络流部分，讨论了： 1. **二分图匹配**：包括匈牙利算法的两种实现，以及Hopcroft-Karp算法。 2. **最小割**：计算无向图中最小的分割，涉及多项复杂度。 3. **流问题**：如最大流（Dinic、HLPP）、最小费用流等，强调效率和成本平衡。 4. **割集与覆盖**：最小化边割集、点割集及路径覆盖等关键操作。数据结构部分涵盖： 1. **日期计算**：基础的数据结构应用，如求解日期的星期几。 2. **树状数组和二维树状数组**：高效的数据结构处理数组操作。 3. **Trie树**：前缀树，用于字符串查找和相关问题。 4. **后缀数组**：用于字符串搜索和相关算法。 5. **RMQ（Range Minimum Query）**：离线和在线查询的高效解决方案。这份ACM算法资源提供了丰富的实践案例，不仅适用于吉林大学的学生，对于其他对算法和数据结构感兴趣的IT专业人士也极具参考价值。通过深入理解和掌握这些算法，学生们能够提升问题解决能力，为ACM竞赛或其他实际项目打下坚实基础。

\*==================================================*/

for (j = 0; j < n; j++)

if (d[i][j] > d[i][k] + d[k][j])

d[i][j] = d[i][k] + d[k][j];

for (i = 0; i < a; i++) { // vertex: 0 ~ n-1

for (j = 0; j < n; j++)

dp[1 << i][j] = d[j][ id[i] ];

}

for (i = 1; i < top; i++) {

if ( 0 == (i & (i - 1)) ) continue;

memset(vis, 0, sizeof(vis));

for (k = 0; k < n; k++) { // init

for (dp[i][k] = inf, j = 1; j < i; j++)

if ((i | j) == i &&

dp[i][k] > dp[j][k] + dp[i - j][k])

dp[i][k] = dp[j][k] + dp[i - j][k];

}

for (j = 0; mx = inf, j < n; j++) { // update

for (k = 0; k < n; k++)

if (dp[i][k] <= mx && 0 == vis[k])

mx = dp[i][mk = k];

for (k = 0, vis[mk] = 1; k < n; k++)

if (dp[i][mk] > dp[i][k] + d[k][mk])

dp[i][mk] = dp[i][k] + d[k][mk];

}

int main(void){

int n, a = 8;

// TODO: read data;

steiner(n, a);

// enum to find the result

for (i = 0, b = inf; z = 0, i < 256; b>z ? b=z : b, i++)

for (j = 0; y = 0, j < 4; z += !!y * dp[y][x], j++)

for (k = 0; k < 8; k += 2)

if ((i >> k & 3) == j)

y += 3 << k, x = id[k];

// TODO: cout << b << endl;

return 0;

}

/*==================================================*\

| Tarjan 强连通分量

| INIT: vec[]为邻接表; stop, cnt, scnt置0; pre[]置-1;

| CALL: for(i=0; i<n; ++i) if(-1==pre[i]) tarjan(i, n);

\*==================================================*/

vector<int> vec[V];

int id[V], pre[V], low[V], s[V], stop, cnt, scnt;

void tarjan(int v, int n ) // vertex: 0 ~ n-1

{

int t, minc = low[v] = pre[v] = cnt++;

vector<int>::iterator pv;

s[stop++] = v;

for (pv = vec[v].begin(); pv != vec[v].end(); ++pv) {

if(-1 == pre[*pv]) tarjan(*pv, n);

if(low[*pv] < minc) minc=low[*pv];

}

if(minc < low[v]) {

low[v] = minc; return;

}

do {

id[t = s[--stop]] = scnt; low[t] = n;

} while(t != v);

++scnt; // 强连通分量的个数

}

/*==================================================*\

| 弦图判断

| INIT: g[][]置为邻接矩阵;

| CALL: mcs(n); peo(n);

| 第一步: 给节点编号 mcs(n)

| 设已编号的节点集合为A, 未编号的节点集合为B

| 开始时A为空, B包含所有节点.

| for num=n-1 downto 0 do {

| 在B中找节点x, 使与x相邻的在A集合中的节点数最多,

| 将x编号为num, 并从B移入A.

| }

| 第二步: 检查 peo(n)

| for num=0 to n-1 do {

| 对编号为num的点x, 设所有编号>num且与x相邻的点集为C

| 在C中找出编号最小的节点y,

| 若C中存在点z!=y, 使得y与z之间无边, 则此图不是弦图.

| }

| 检查完了, 则此图是弦图.

int g[V][V], order[V], inv[V], tag[V];

void mcs(int n){

int i, j, k;

memset(tag, 0, sizeof(tag));

memset(order, -1, sizeof(order));

for (i = n - 1; i >= 0; i--) { // vertex: 0 ~ n-1

for (j = 0; order[j] >= 0; j++) ;

for (k = j + 1; k < n; k++)

if (order[k] < 0 && tag[k] > tag[j]) j = k;

order[j] = i, inv[i] = j;

for (k = 0; k < n; k++) if (g[j][k]) tag[k]++;

}

int peo(int n){

int i, j, k, w, min;

for (i = n - 2; i >= 0; i--) {

j = inv[i], w = -1, min = n;

for (k = 0; k < n; k++)

(g[j][k] && order[k] > order[j] &&

order[k] < min)

min = order[k], w=k;

if (w < 0) continue;

for (k = 0; k < n; k++)

if (g[j][k] && order[k] > order[w] && !g[k][w])

return 0; // no

}

return 1 ; // yes

}

/*==================================================*\

| 弦图的 perfect elimination 点排列

| INIT: g[][]置为邻接矩阵;

| CALL: cardinality(n); tag[i]为排列中第i个点的标号;

| The graph with the property mentioned above

| is called chordal graph. A permutation s = [v1 , v2,

| ..., vn] of the vertices of such graph is called a

| perfect elimination order if each vi is a simplicial

| vertex of the subgraph of G induced by {vi ,..., vn}.

| A vertex is called simplicial if its adjacency set

| induces a complete subgraph, that is, a clique (not

| necessarily maximal). The perfect elimination order

| of a chordal graph can be computed as the following:

\*==================================================*/

procedure maximum cardinality search(G, s)

for all vertices v of G do

set label[v] to zero

end for

for all i from n downto 1 do

choose an unnumbered vertex v with largest label

set s(v) to i{number vertex v}

for all unnumbered vertices w adjacent to vertex v do

increment label[w] by one

end for

end procedure

int tag[V], g[V][V], deg[V], vis[V];

void cardinality(int n)

{

int i, j, k;

memset(deg, 0, sizeof(deg));

memset(vis, 0, sizeof(vis));

for (i = n - 1; i >= 0; i--) {

for (j = 0, k = -1; j < n; j++) if (0 == vis[j]) {

if (k == -1 || deg[j] > deg[k]) k = j;

}

vis[k] = 1, tag[i] = k;

for (j = 0; j<n; j++)

if (0 == vis[j] && g[k][j]) deg[j]++;

}

/*==================================================*\

| 稳定婚姻问题 O(n^2)

\*==================================================*/

const int N = 1001;

struct People{

bool state;

int opp, tag;

int list[N]; // man使用

int priority[N]; // woman使用, 有必要的话可以和list合并，

以节省空间

void Init(){ state = tag = 0; }

}man[N], woman[N];

count[i] = top; top = i;

struct R{

int opp; int own;

}requst[N];

int n;

void Input(void);

void Output(void);

void stableMatching(void);

int main(void){

//...

Input();

stableMatching();

Output();

//...

return 0;

}

void Input(void){

scanf("%d\n", &n);

int i, j, ch;

for( i=0; i < n; ++i ) {

man[i].Init();

for( j=0; j < n; ++j ){ //按照man的意愿递减排序

scanf("%d", &ch); man[i].list[j] = ch-1;

}

for( i=0; i < n; ++i ) {

woman[i].Init();

for( j=0; j < n; ++j ){ //按照woman的意愿递减排序，

但是，存储方法与man不同！！！！

scanf("%d", &ch); woman[i].priority[ch-1] = j;

}

void stableMatching(void){

int k;

for( k=0; k < n; +k ){

int i, id = 0;

for( i=0; i < n; ++i )

if( man[i].state == 0 ){

requst[id].opp =

man[i].list[ man[i].tag ];

requst[id].own = i;

man[i].tag += 1; ++id;

}

if( id == 0 ) break;

for( i=0; i < id; ++i ){

if( woman[requst[i].opp].state == 0 ){

woman[requst[i].opp].opp =

requst[i].own;

woman[requst[i].opp].state = 1;

man[requst[i].own].state = 1;

man[requst[i].own].opp =

requst[i].opp;

}

else{

if( woman[requst[i].opp].priority[ woman[requst[i].o

pp].opp ] >

woman[requst[i].opp].priority[requst[i].own] ){ //

man[ woman[requst[i].opp].opp ].state = 0;

woman[ requst[i].opp ].opp =

requst[i].own;

man[requst[i].own].state = 1;

man[requst[i].own].opp =

requst[i].opp;

}

void Output(void){

for( int i=0; i < n; ++i ) printf("%d\n", man[i].opp+1);

}

/*==================================================*\

| 拓扑排序

| INIT:edge[][]置为图的邻接矩阵;count[0…i…n-1]:顶点i的入度.

\*==================================================*/

void TopoOrder(int n){

int i, top = -1;

for( i=0; i < n; ++i )

if( count[i] == 0 ){ // 下标模拟堆栈

}

for( i=0; i < n; ++i )

if( top == -1 ) { printf("存在回路\n"); return ; }

else{

int j = top; top = count[top];

printf("%d", j);

for( int k=0; k < n; ++k )

if( edge[j][k] && (--count[k]) == 0 ){

count[k] = top; top = k;

}

/*==================================================*\

| 无向图连通分支(dfs/bfs 邻接阵)

| DFS / BFS / 并查集

\*==================================================*/

/*==================================================*\

| 有向图强连通分支(dfs/bfs 邻接阵)O(n^2)

\*==================================================*/

//返回分支数,id返回1..分支数的值

//传入图的大小n和邻接阵mat,不相邻点边权0

#define MAXN 100

void search(int n,int mat[][MAXN],int* dfn,int* low,int

now,int& cnt,int& tag,int* id,int* st,int& sp){

int i,j;

dfn[st[sp++]=now]=low[now]=++cnt;

for (i=0;i<n;i++)

if (mat[now][i]){

if (!dfn[i]){

search(n,mat,dfn,low,i,cnt,tag,id,st,sp);

if (low[i]<low[now])

low[now]=low[i];

}

else if (dfn[i]<dfn[now]){

for (j=0;j<sp&&st[j]!=i;j++);

if (j<cnt&&dfn[i]<low[now])

low[now]=dfn[i];

}

if (low[now]==dfn[now])

for (tag++;st[sp]!=now;id[st[--sp]]=tag);

}

int find_components(int n,int mat[][MAXN],int* id){

int ret=0,i,cnt,sp,st[MAXN],dfn[MAXN],low[MAXN];

for (i=0;i<n;dfn[i++]=0);

for (sp=cnt=i=0;i<n;i++)

if (!dfn[i])

search(n,mat,dfn,low,i,cnt,ret,id,st,sp);

return ret;

}

//有向图强连通分支,bfs邻接阵形式,O(n^2)

//返回分支数,id返回1..分支数的值

//传入图的大小n和邻接阵

mat,不相邻点边权0

#define MAXN 100

int find_components(int n,int mat[][MAXN],int* id){

int ret=0,a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN],d[MAXN],i,j,k,t;

for (k=0;k<n;id[k++]=0);

for (k=0;k<n;k++)

if (!id[k]){

for (i=0;i<n;i++)

a[i]=b[i]=c[i]=d[i]=0;

a[k]=b[k]=1;

for (t=1;t;)

for (t=i=0;i<n;i++){

if (a[i]&&!c[i])

for (c[i]=t=1,j=0;j<n;j++)

if (mat[i][j]&&!a[j])

a[j]=1;

if (b[i]&&!d[i])

for (d[i]=t=1,j=0;j<n;j++)

if (mat[j][i]&&!b[j])

b[j]=1;

}

for (ret++,i=0;i<n;i++)

if (a[i]&b[i])

id[i]=ret;

}

return ret;

}

/*==================================================*\

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