使用matplotlib动态展示梯度下降求解过程

在机器学习中，梯度下降算法是一种常用的优化方法，用于寻找函数的最小值，尤其是在线性回归等模型中更新模型参数。在这个示例中，我们将使用Python的matplotlib库来动态可视化梯度下降的过程，帮助理解学习率如何影响模型收敛速度。 首先，我们导入必要的库，如numpy（数值计算）和matplotlib.pyplot，以及IPython的display模块，后者用于在Jupyter Notebook中实现动态更新显示。我们创建一个简单的线性模型数据集，其中X是一个随机的一维数组，y则是根据线性关系和随机噪声生成的。X_b是通过在X的基础上添加一个常数列（偏置项）来准备输入矩阵，这对于线性回归至关重要。 然后，我们定义了学习率η（决定每次参数更新的步长）、迭代次数n_iter以及假设的初始参数θ。在matplotlib环境中，我们设置了图形的大小和窗口位置，并开启交互模式以支持动态绘图。接下来，使用for循环进行迭代： 1. 在每次迭代中，我们计算梯度（即代价函数关于θ的导数），这是通过X_b和y的矩阵乘法得到的。 2. 更新θ值，按照学习率η乘以梯度方向并减去当前梯度。 3. 创建一个新的测试点X_new，预测其对应的y值（y_pred）。 4. 清除当前图像，以便在每次迭代后绘制新的数据点和预测线。 5. 设置绘图范围，绘制原始数据点（蓝色）和预测线（红色），并在图上显示当前的学习率。 6. 使用plt.pause暂停一段时间，让新图显示出来，然后使用display.clear_output确保图像刷新。 7. 最后，关闭交互模式并显示整个图像。 这个示例中展示了三个不同学习率的效果：0.1（较快收敛，适合许多情况）、0.02（收敛速度较慢但更稳定）、以及一个未给出的具体值。通过对比不同学习率下的梯度下降动画，可以直观地看到学习率如何影响模型在优化过程中的性能。较大的学习率可能导致震荡，而较小的学习率则可能需要更多迭代才能达到最小值。理解这一点对于选择合适的超参数至关重要，尤其是在实际应用中。通过matplotlib的可视化工具，我们可以有效地辅助模型理解和调试。