对偶单纯形法：运筹学求解线性规划的改进实现

"对偶单纯形法是运筹学中一种用于解决线性规划问题的有效方法，它是在单纯形法的基础上进行改进，以处理那些单纯形法可能遇到的特殊情况，例如当约束条件中的某些变量取值出现负数时。在2012-2013学年第二学期的云南大学数学与统计学实验课程中，学生卢富毓通过VS2010的C++编程实现了对偶单纯形法的改进。 实验目的是深化理解和掌握单纯形法，并确保在实际问题中，即使面对b值中存在负数的情况，算法仍能提供可行解。实验环境中，学生利用Visual Studio 2010作为开发工具，遵循了以下步骤： 1. 首先，通过常规单纯形法计算，当所有检验数Cj-Zj为非正时，检测是否存在b的负值。如果发现这种情况，便转向使用对偶单纯形法。 2. 换出过程选择b中最小的负值对应的变量xi，同时考虑如何通过调整系数矩阵Aij来保持对偶问题的可行性。 3. 检查xi所在的行，若Aij全为正，说明无可行解；若有负值，计算相关替换系数，确保问题仍可求解。 4. 继续按照单纯形法的流程求解，重复上述步骤，直到找到最优解。 实验过程中，学生提供了两个示例数据，一个是标准的线性规划问题，另一个则是带有负值b的特殊情况。通过这两个案例，算法成功地得到了预期的结果，验证了其在不同情况下的适用性。实验结果显示，无论是普通的数据还是特殊情况，对偶单纯形法都能得到正确的最优解，这与课本上的例题结果完全一致。 总结来说，通过编写对偶单纯形法的程序，学生不仅加深了对运筹学基础理论的理解，而且提高了编程技能，增强了实际解决问题的能力。这种方法对于解决线性规划问题具有重要意义，特别是在处理边界条件复杂或者存在非正常约束时，对偶单纯形法显示出了其强大的适应性和效率。"