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)()()()()( txtPtxtPt
&
&
&
+=
λ
(4-2-19)
将系统状态方程
)()()()()(
)()()()(
)()()()()(
txtPtStxtA
ttStxtA
tutBtxtAtx
−=
−=
=
λ
&
(4-2-20)
代入(4-2-19)式,有
)()]()()()()()([)( txtPtStPtAtPtPt −+=
&
&
λ
(4-2-21)
而由协态方程(4-2-6)式及(4-2-17)式,又有
)()]()()([)( txtPtAtQt
T
−−=
λ
&
(4-2-22)
综合上两式,并考虑 x(t)任意,有
0)()()()()()()()()( =++−+ tQtPtAtPtStPtAtPtP
T
&
(4-2-23)
将
)()()()(
1
tBtRtBtS
T−
=
代入,整理得
)()()()()()()()()()()(
1
tQtPtAtPtBtRtBtPtAtPtP −−+−=
− TT
&
(4-2-24)
(4-2-24
)式即为解二次型最优控制问题著名的黎卡提(Riccati)型矩阵微分
方程,一般简称为黎卡提(Riccati)方程。
结合(4-2-5)和(4-2-17)式即可得到最优控制的状态反馈形式
)()()()()()()(
1
txtKtxtPtBtRtu −=−=
− T
(4-2-25)
其中 K(t)为反馈增益矩阵。
可以证明(4-2-25)式是状态调节器问题最优控制的充分必要并且是唯一的条
件。
※充分条件的证明:
考虑二次型
)()()( txtPtx
T
,将其对 t 求导得
)()()()()()()()()()]()()([ txtPtxtxtPtxtxtPtxtxtPtx
dt
d
&
&
&
TTTT
++=
(4-2-26)
将状态方程(4-2-1)式和黎卡提方程(4-2-24)式代入,经配方整理可得
)]()()()()()[()]()()()()([
)]()()()()()([)]()()([
txtPtBtRtutRtxtPtBtRtu
tutRtutxtQtxtxtPtx
dt
d
T1-TT1-
TTT
+++
+−=
(4-2-27)
对上式两边由 t
0
到 t
f
积分,经整理得
∫
∫
+++
=++
f
f
t
t
t
t
ff
dttxtPtBtRtutRtxtPtBtRtu
txtPtxtutRtutxtQtxtFxtx
0
0
)]}()()()()()[()]()()()()({[
)()()()]()()()()()([)()(
000
T1-TT1-
TTTT
(4-2-28)
上式左边乘以 1/2 即为性能指标(4-2-2)式的右边,也即有