非参数贝叶斯分析的Dirichlet过程方法研究

本篇硕士学位论文探讨的主题是"基于Dirichlet过程的非参数贝叶斯分析"，由姚宗静撰写，专业背景为概率论与数理统计，导师为赵联文，发表于西南交通大学。论文针对统计学中非参数问题的贝叶斯方法提出了一种创新性解决方案。非参数问题的关键挑战在于找到既具有灵活性和广泛性（即在样本空间的适当拓扑下，先验分布应具有丰富的支派），又便于后验分析的先验分布。 Ferguson的观点指出，理想的先验分布需满足两个条件：一是能在概率分布空间上具有足够的支派，二是后验分布易于分析，通常通过共轭类的形式实现。然而，这两点往往难以兼得。论文作者借鉴了Dirichlet过程的第二定义，特别是Jayaram Sethuraman在1994年的文章，该方法通过参数扩展来处理非参数问题。但原始方法受到样本大小n的限制，论文尝试扩展这一思路，考虑当样本区间上限作为随机变量的情况，探索更为灵活的处理方式。 具体工作中，论文做出了以下贡献： 1. 提供了简单Dirichlet过程的构造性定义，证明它构成的非参数先验分布类别同时满足上述两点要求。 2. 对简单Dirichlet过程的性质进行了深入讨论，包括其在可测剖分下的有限阶原点距、方差和协方差等数字特征的计算。 3. 针对先验类，详细探讨了其支派特性，确保了选择的灵活性。 4. 计算了在该先验类下的后验分布具体形式，为非参数贝叶斯分析提供了新的分析工具。 关键词：“简单Dirichlet过程”是论文的核心概念，它在非参数贝叶斯分析中扮演了关键角色，为解决统计问题中的不确定性提供了新的可能性。本文的研究不仅有助于填补参数化与非参数方法之间的空白，也为后续的理论研究和实际应用提供了有价值的参考。