计算机图形学几何基础：公式、实例与证明

需积分: 5 124 浏览量更新于2024-06-27 收藏 4.97MB PDF 举报

身份认证购VIP最低享 7 折!

领优惠券(最高得80元）

"Geometry for Computer Graphics: Formulae, Examples and Proofs" 是一本由John Vince编著的专业书籍，专注于计算机图形学中的几何理论。这本书深入探讨了平面解析几何和立体解析几何的基本概念、公式和定理，并通过丰富的实例和证明来阐述这些理论在计算机图形开发中的应用。在计算机图形学中，几何是至关重要的基础，因为它涉及到如何在屏幕上创建和操作形状、物体和空间。本书涵盖了以下几个关键知识点： 1. **坐标系统与向量**：介绍二维和三维坐标系统，包括笛卡尔坐标和极坐标，以及向量的定义、加减乘除运算、标量积和向量积。 2. **线性代数基础**：讲解矩阵及其运算，如矩阵乘法、逆矩阵、行列式，以及它们在变换（如平移、旋转、缩放）中的应用。 3. **几何变换**：详细讨论了线性变换，如仿射变换、投影变换和旋转变换，以及非线性变换如扭曲和曲面变形。 4. **平面与直线**：涉及平面方程和平行、垂直关系，直线方程和交点计算，以及点到平面和直线的距离。 5. **曲线与曲面**：探讨参数曲线，如贝塞尔曲线和 Bspline 曲线，以及参数曲面，如平面曲面、球面、柱面和扭结面。 6. **几何碰撞检测**：介绍如何检测和处理物体之间的碰撞，这对于游戏开发和物理模拟至关重要。 7. **几何优化**：讲解如何通过最优化算法来简化几何模型，提高渲染效率，如多边形剪裁和细分。 8. **几何证明**：通过一系列证明来巩固几何理论，帮助读者理解几何定理背后的逻辑。 9. **图形算法**：涉及图形绘制算法，如光栅化、深度缓冲、三角形遍历等，以及几何体的表示方法，如边界框和八叉树。 10. **实例应用**：书中包含大量实际案例，展示了如何将这些几何概念应用于计算机图形的各个领域，如游戏开发、动画制作、虚拟现实和建筑设计。此书不仅适合计算机图形学的初学者和开发者，也是对几何公式有所遗忘的科研人员或教师的宝贵参考资料。通过阅读和实践书中的例子，读者可以加深对几何原理的理解，并将其应用于实际项目中，提升计算机图形学的实践技能。

资源详情

资源推荐

2.15.13 Intersection of a line and a plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

2.15.14 Position and distance of the nearest point on a plane to a point . 144

2.15.15 Reﬂection of a point in a plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2.15.16 Plane equidistant from two points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2.15.17 Reﬂected ray on a surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

2.16 Lines, planes and spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2.16.1 Line intersecting a sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2.16.2 Sphere touching a plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

2.16.3 Touching spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

2.17 Three-dimensional triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

2.17.1 Coordinates of a point inside a triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

2.17.2 Unknown coordinate value inside a triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

2.18 Parametric curves and patches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

2.18.1 Parametric curves in 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

2.18.2 Parametric curves in 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

2.18.3 Planar patch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

2.18.4 Parametric surfaces in 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

2.18.5 Quadratic Bézier curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

2.18.6 Cubic Bézier curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

2.18.7 Quadratic Bézier patch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

2.18.8 Cubic Bézier patch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

2.19 Second degree surfaces in standard form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

3 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

3.1 Trigonometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.1.1 Trigonometric functions and identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.1.2 Cofunction identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.1.3 Pythagorean identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.1.4 Useful trigonometric values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

3.1.5 Compound angle identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

3.1.6 Double-angle identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

3.1.7 Multiple-angle identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

3.1.8 Functions of the half-angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

3.1.9 Functions of the half-angle using the perimeter of a triangle . . . . 177

3.1.10 Functions converting to the half-angle tangent form . . . . . . . . . . . 178

3.1.11 Relationships between sums of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

3.1.12 Inverse trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

3.2 Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3.2.1 Angles subtended by the same arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3.2.2 Alternate segment theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3.2.3 Area of a circle, sector and segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

3.2.4 Chord theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

3.2.5 Secant theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

3.2.6 Secant–tangent theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

3.2.7 Area of an ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

xviii Contents

00 29/09/04 15:36 Page xviii

3.3 Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

3.3.1 Theorem of Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

3.3.2 Properties of triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

3.3.3 Altitude theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

3.3.4 Area of a triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

3.3.5 Internal and external angles of a triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

3.3.6 The medians of a triangle are concurrent at its centroid . . . . . . . . . . 196

3.3.7 Radius and center of the inscribed circle for a triangle . . . . . . . . . . . 198

3.3.8 Radius and center of the circumscribed circle for a triangle . . . . . . . 201

3.4 Quadrilaterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

3.4.1 Properties of quadrilaterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

3.4.2 The opposite sides and angles of a parallelogram are equal . . . . . . 210

3.4.3 The diagonals of a parallelogram bisect each other . . . . . . . . . . . . . . 210

3.4.4 The diagonals of a square are equal, intersect at right

angles and bisect the opposite angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

3.4.5 Area of a parallelogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

3.4.6 Area of a quadrilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

3.4.7 Area of a general quadrilateral using Heron’s formula . . . . . . . . . . . . 214

3.4.8 Area of a trapezoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

3.4.9 Radius and center of the circumscribed circle for a rectangle . . . . . 217

3.5 Polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

3.5.1 The internal angles of a polygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

3.5.2 The external angles of a polygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

3.5.3 Alternate internal angles of a cyclic polygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

3.5.4 Area of a regular polygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

3.5.5 Area of a polygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

3.5.6 Properties of regular polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

3.6 Three-dimensional objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

3.6.1 Volume of a prism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

3.6.2 Surface area of a rectangular pyramid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

3.6.3 Volume of a rectangular pyramid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

3.6.4 Volume of a rectangular pyramidal frustum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

3.6.5 Volume of a triangular pyramid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

3.6.6 Surface area of a right cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

3.6.7 Surface area of a right conical frustum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

3.6.8 Volume of a cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

3.6.9 Volume of a right conical frustum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

3.6.10 Surface area of a sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

3.6.11 Volume of a sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

3.6.12 Area and volume of a torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

3.6.13 Radii of the spheres associated with the Platonic solids . . . . . . . . . . 233

3.6.14 Inner and outer radii for the Platonic solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

3.6.15 Dihedral angles for the Platonic solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

3.6.16 Surface area and volume of the Platonic solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Contents xix

00 29/09/04 15:36 Page xix

3.7 Coordinate systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

3.7.1 Cartesian coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

3.7.2 Polar coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

3.7.3 Cylindrical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

3.7.4 Spherical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

3.8 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

3.8.1 Magnitude of a vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

3.8.2 Normalizing a vector to a unit length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

3.8.3 Scalar (dot) product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

3.8.4 Commutative law of the scalar product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

3.8.5 Associative law of the scalar product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

3.8.6 Angle between two vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

3.8.7 Vector (cross) product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

3.8.8 The non-commutative law of the vector product . . . . . . . . . . . . . . 254

3.8.9 The associative law of the vector product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

3.8.10 Scalar triple product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

3.9 Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

3.9.1 Deﬁnition of a quaternion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

3.10 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

3.10.1 Scaling in 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

3.10.2 Translation in 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

3.10.3 Rotation in 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

3.10.4 Shearing in 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

3.10.5 Reﬂection in 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

3.10.6 Change of axes in 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

3.10.7 Identity matrix in 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

3.10.8 Scaling in 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

3.10.9 Translation in 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

3.10.10 Rotation in 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

3.10.11 Reﬂection in 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

3.10.12 Change of axes in 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

3.10.13 Identity matrix in 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

3.11 Two-dimensional straight lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

3.11.1 Cartesian form of the line equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

3.11.2 Hessian normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

3.11.3 Equation of a line from two points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

3.11.4 Point of intersection of two straight lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

3.11.5 Angle between two straight lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

3.11.6 Three points lie on a straight line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

3.11.7 Parallel and perpendicular straight lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

3.11.8 Shortest distance to a line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

3.11.9 Position and distance of a point on a line

perpendicular to the origin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

3.11.10 Position and distance of the nearest point on a line to a point . . 280

3.11.11 Position of a point reﬂected in a line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

3.11.12 Normal to a line through a point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

xx Contents

00 29/09/04 15:36 Page xx

3.11.13 Line equidistant from two points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

3.11.14 Equation of two-dimensional line segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

3.11.15 Point of intersection of two two-dimensional line segments . . . . 286

3.12 Lines and circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

3.12.1 Line and a circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

3.12.2 Touching and intersecting circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

3.13 Second degree curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

3.13.1 Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

3.13.2 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

3.13.3 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

3.13.4 Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

3.14 Three-dimensional straight lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

3.14.1 Straight-line equation from two points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

3.14.2 Intersection of two straight lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

3.14.3 Angle between two straight lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

3.14.4 Three points lie on a straight line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

3.14.5 Parallel and perpendicular straight lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

3.14.6 Position and distance of a point on a line

perpendicular to the origin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

3.14.7 Position and distance of the nearest point on a line to a point . . . . 299

3.14.8 Position of a point reﬂected in a line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

3.14.9 Normal to a line through a point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

3.14.10 Shortest distance between two skew lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

3.15 Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

3.15.1 Equation to a plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

3.15.2 Plane equation from three points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

3.15.3 Plane through a point and normal to a line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

3.15.4 Plane through two points and parallel to a line . . . . . . . . . . . . . . . . 308

3.15.5 Intersection of two planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

3.15.6 Intersection of three planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

3.15.7 Angle between two planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

3.15.8 Angle between a line and a plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

3.15.9 Intersection of a line and a plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

3.15.10 Position and distance of the nearest point on a plane to a point . . . 312

3.15.11 Reﬂection of a point in a plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

3.15.12 Plane equidistant from two points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

3.15.13 Reﬂected ray on a surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

3.16 Lines, planes and spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

3.16.1 Line intersecting a sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

3.16.2 Sphere touching a plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

3.16.3 Touching spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

3.17 Three-dimensional triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

3.17.1 Point inside a triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

3.17.2 Unknown coordinate value inside a triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

Contents xxi

00 29/09/04 15:36 Page xxi

剩余359页未读，继续阅读

ZOU_ZH

粉丝: 0
资源: 12

计算机图形学几何基础：公式、实例与证明

Geometry for Computer Graphics

A Programmer's Geometry

基于python贫困生资助管理系统带vue前后端分离设计源代码+文档说明+数据库文件

基于YOLOv8的路面桥梁墙体裂缝识别python源码+项目说明.zip

弹性力学基础：应力：应力集中现象.docx

结构力学本构模型：断裂力学模型：环境影响下的断裂力学技术教程.docx

用MATLAB实现对图形图像的处理，图像的平滑滤波.zip

基于机器学习的人脸识别系统-识别人脸并进行开门操作+源代码+文档说明+答辩ppt

AutoValue-0.7.3-py3-none-any.whl.zip

autots-0.6.12-py3-none-any.whl.zip

弹性力学数值方法：迭代法：共轭梯度法在弹性力学中的应用.docx

GK1H 1地理答案.pdf

弹性力学基础：平衡方程：胡克定律与弹性模量.docx

毕业设计-基于Python+Django+MySql开发的校园二手交易跳蚤市场代码+数据库

基于python的warrior管理系统笔记 (23).zip

弹性力学数值方法：解析法：弹性力学中的Green函数方法.docx

结构力学本构模型：弹塑性模型：塑性理论基础.docx

《三维虚拟地形漫游系统》，三维图形全部基于OpenGL：编程模式为Visual C++MFC

‌QGraphicsScene显示QPixmap示例scene.rar

Matlab资源.zip

最新资源