迪杰斯特拉算法详解：图的最短路径求解

迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）是一种用于求解有向图或无向图中两点之间最短路径的经典算法。它由荷兰计算机科学家艾兹格·迪杰斯特拉于1956年提出，常用于网络路由、地图导航等领域。在这个算法中，给定一个带有权重的图（AdjMatrix 表示），起点v0，目标是计算从v0到其他顶点的最短路径。算法的主要步骤如下： 1. 初始化：定义一个集合s（shortest path set）来记录已经找到最短路径的顶点。对于每个顶点i，初始化其路径集合(path[i])为空，并设置距离(dist[i])为起点v0到顶点i的初始权重（g.arcs[v0][i]）。如果这个初始权重小于最大值MAX，则将v0和i加入到path[i]中。 2. 优先队列操作：使用优先队列（通常实现为最小堆）来存储待处理的顶点及其距离。初始时，仅包含v0，其距离dist[v0]为0。 3. 迭代过程：循环直到优先队列为空或者找到所有顶点的最短路径。在每次迭代中，从优先队列中取出当前距离最小的顶点u，更新与其相邻顶点v的距离dist[v]，如果通过u到达v的距离比当前已知更短，则更新dist[v]并将v加入path[u]中。同时，将v放入优先队列，以便后续可能的优化。 4. 结束标志：当优先队列只剩下一个顶点或全部顶点处理完毕，表示所有顶点的最短路径都已被找到。此时，path数组包含了每个顶点的最短路径。 迪杰斯特拉算法适用于单源最短路径问题，但不适用于负权边的情况，因为算法会倾向于选择较小的权重，而忽视可能的负权重所带来的更短路径。此外，此算法适合稠密图（即边的数量接近于顶点数量的平方），在稀疏图中效率较低，可考虑使用Floyd-Warshall算法或A*搜索算法等替代。 在整个课程中，章节7.1介绍了图的定义和基本术语，包括图作为网状数据结构，顶点（vertex）、弧（arc）、有向图和无向图的概念，以及图的存储结构。图结构的特点在于节点间的多对多关系，使得图成为处理复杂关系问题的有效工具。在实际应用中，如图论、社交网络分析、计算机视觉等领域都有广泛的应用。 总结与提高部分强调了图作为一种非线性数据结构的优势，以及图的基本操作，如创建、插入、删除和查找。在编程实现中，理解这些概念并熟练运用迪杰斯特拉算法是数据结构学习的重要环节，对于算法设计和优化具有重要意义。