Dijkstra算法详解：单源最短路径

"Dijkstra算法是计算单源最短路径的经典算法，主要应用于寻找从一个节点到图中所有其他节点的最短路径。该算法由Edsger W. Dijkstra提出，适用于非负权重的图，不能处理含有负权边的情况。Dijkstra算法的特点是以起点为中心，逐步向外扩展，通过维护永久和临时标号来更新路径信息。 算法描述如下： 1. 初始化：设定一个源节点，例如节点1，将源节点加入集合S，并设置源节点的最短路径值d(1)为0，其他所有节点的最短路径值d(i)初始化为从源节点到它们的边权值（如果存在边）或无穷大（如果不存在边）。 2. 在集合S中选择当前具有最小最短路径值的节点j，将其从S中移除。 3. 对于S中的每个节点i，如果存在从j到i的边，检查是否可以通过节点j找到更短的路径到i，如果是，则更新d(i)的值为d(j)加上边j->i的权重。 4. 重复步骤2和3，直到集合S为空，即所有节点都被处理过。 复杂度分析： - 时间复杂度：Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n是图中的节点数量。这是因为在最坏的情况下，需要检查n个节点中的每一个节点n次。 - 空间复杂度：若使用邻接矩阵存储图，空间复杂度为O(n^2)，因为需要存储每个节点的所有邻接关系。 算法实现通常包括以下语言版本： - C++：可以使用优先队列（如二叉堆）来优化查找最小节点的过程，提高效率。 - Pascal：虽然现代编程中使用Pascal的情况较少，但Dijkstra算法同样可以被实现。 测试样例通常涉及输入一个节点数n和邻接矩阵，然后输出源节点（如节点1）到其他所有节点的最短路径。 在实际应用中，Dijkstra算法常用于路由选择、网络规划和图形理论等领域。尽管存在其他更高效的算法（如Floyd-Warshall或Bellman-Ford），但在特定条件下，Dijkstra算法因其简单性和有效性而被广泛采用。"