dijkstra算法（单源最短路径）

Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的经典算法。它能够找出从一个顶点到图中其他所有顶点的最短路径。

该算法的基本思想是：从起始顶点开始，逐步扩展到其他顶点，每次选择当前距离最短的顶点进行扩展，直到所有顶点都被遍历。在遍历的过程中，通过不断更新顶点的距离值，得到最短路径。

具体步骤如下：
1. 初始化距离数组，将起始顶点的距离设为0，其他顶点的距离设为无穷大。
2. 选择当前距离最短的顶点，标记为已访问。
3. 更新与该顶点相邻顶点的距离，如果经过当前顶点到达这些相邻顶点的路径更短，则更新其距离值。
4. 重复步骤2和步骤3，直到所有顶点都被访问或者无法继续扩展。

最终，得到的距离数组即为起始顶点到其他所有顶点的最短路径长度。同时，通过回溯路径可以得到最短路径的具体路径。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是图的顶点数。如果使用优先队列来优化选择最短路径顶点的过程，可以将时间复杂度优化为O((V+E)logV)，其中E是图的边数。

相关问题

dijkstra算法求单源最短路径

Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的经典算法。它以一个源顶点为起始点，通过不断扩展最短路径树来寻找到其他所有顶点的最短路径。下面是Dijkstra算法的思路和步骤。

首先，我们需要定义一个顶点集合，用于存放已经求得最短路径的顶点。算法开始时，所有顶点都被标记为未被访问，并且它们的最短路径长度都初始化为无穷大。

然后，我们从起始顶点开始，将其最短路径长度置为0，并将其加入到已求得最短路径的集合中。此外，我们还需要更新起始顶点的邻居顶点的最短路径长度。

接下来，我们进入循环，不断选择最短路径长度最小的顶点，将其加入到已求得最短路径的集合中。然后，更新该顶点的邻居顶点的最短路径长度。具体的更新方式是，如果通过当前选中的顶点访问邻居顶点的路径长度比已知的最短路径长度小，那么更新邻居顶点的最短路径长度。

最后，当所有顶点都被加入到已求得最短路径的集合中，或者存在无穷大的路径时，算法结束。此时，我们得到了从起始顶点到其他所有顶点的最短路径长度。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为图中顶点的数量。此外，它还可以通过使用优先队列来优化，将时间复杂度降低到O((V+E)logV)，其中E为图中边的数量。

总之，Dijkstra算法是一种求解单源最短路径的有效算法，它可以应用于各种实际问题中，如路由选择、网络通信、物流规划等。

dijkstra单源最短路径算法python

以下是Dijkstra单源最短路径算法的Python实现：

import sys

class Graph:
    def __init__(self, vertices):
        self.V = vertices
        self.graph = [[0 for column in range(vertices)] for row in range(vertices)]

    def printSolution(self, dist):
        print("Vertex \t Distance from Source")
        for node in range(self.V):
            print(node, "\t\t", dist[node])

    def minDistance(self, dist, sptSet):
        min = sys.maxsize

        for v in range(self.V):
            if dist[v] < min and sptSet[v] == False:
                min = dist[v]
                min_index = v

        return min_index

    def dijkstra(self, src):
        dist = [sys.maxsize] * self.V
        dist[src] = 0
        sptSet = [False] * self.V

        for cout in range(self.V):
            u = self.minDistance(dist, sptSet)
            sptSet[u] = True

            for v in range(self.V):
                if self.graph[u][v] > 0 and sptSet[v] == False and dist[v] > dist[u] + self.graph[u][v]:
                    dist[v] = dist[u] + self.graph[u][v]

        self.printSolution(dist)

# 测试
g = Graph(9)
g.graph = [[0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0],
           [4, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 11, 0],
           [0, 8, 0, 7, 0, 4, 0, 0, 2],
           [0, 0, 7, 0, 9, 14, 0, 0, 0],
           [0, 0, 0, 9, 0, 10, 0, 0, 0],
           [0, 0, 4, 14, 10, 0, 2, 0, 0],
           [0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 6],
           [8, 11, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 7],
           [0, 0, 2, 0, 0, 0, 6, 7, 0]]

g.dijkstra(0)

输出结果将会是：

Vertex   Distance from Source
0             0
1             4
2             12
3             19
4             21
5             11
6             9
7             8
8             14

这个实现中，我们创建了一个Graph类，其中包含了单源最短路径算法Dijkstra的实现。在测试中，我们创建了一个有9个节点的图，并使用Dijkstra算法计算从第0个节点到其他节点的最短路径。