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A.
埃达拉特湾
Pattinson/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155
(
2006
)
565
向量场的近似。
2
符号和标记
我们使用域理论的基本概念,参见例如
[2]
或
[13]
。我们的工作是基于区
间域IR
=
{
[
a
,
a
]
|a≤ a
,
a
,
a∈ R}<$
{R},
按逆包含排序,即α±β
i <$β
<
$
α。
对于包含在[a
,
b]中的紧区间的子域,我们写I[
和
IR
n
(
resp.
I
[
a
,
b
]
n
)对于
IR
(
resp.
(a
,
b)本身。符号表示
IR
n
的最
小元素。为了方便起见,我们用区间
[
x
,
x
]
来标识实数x
∈R
,对于实向
量,即
Rn
的元素,也是类似的。特别地,这允许我们将类型X→R
n
的向量
值函数视为在
IR
n
中取值。
紧区间[
a
,
b
]
的宽度为
w
([
a
,
b
])
=
b
−
a
,其
中间点
为
m(
[
a
,
b
]
)
=
a
+
b
。
W
e
putt
w
(
ω
) =
∞
.
F
〇
r
α
=
(
α
1
,
. .
,
α
n
)
∈
IRn
我们令
w
(
α
)= max{
w
(
α
i
)
|
1 ≤
i
≤
n
}和
m
(
α
)=(
m
(
α
1
)
,
.
,
m
(
α
n
))。 如果
X
是一个集合,
f
:
X
→IRn
是一个函数,则
f
的宽度为
w
(
f
)=
supx∈
Xw
(
f
(
x
))。 我们 说
一
个函 数
f
:
I
R
n
→
I
R
n
是
区间
Lipschitz,如果它只线性地增加它的辐角的宽度,即。 如果对所有x ∈
IRn
且某些
L ≥ 0
,
w
(
f
(
x
))
≤
L
·
w
(
x
)
.
给定两个区间α
=
[
a
,
a
]
和β
=[
b
,
b
]
∈ IR
,它们的
Hausdor
距离
为d
(α
,
β)
= max{|
a
−
b
|
、
|
a
−
b
|}.
类似地,对于α
=
(α
1
,
.
,
α
n
)和β
=
(β
1
,
.
,
β
n
)∈IRn
,
设d(α
,
β)= max{d(α
i
,
β
i
)
|
1
≤i≤n},并定
义两个 函 数 f
,
g
:X
→IR
n
的距 离
为 d( f
,
g)
= sup{
d( f ( x )
,
g
(x))
|
x∈X}。
在整个论文中,
·
表示最大范数(x
1
,
.
,
x
n
)
n = max
{|
X
i
||
1
≤
i
≤
n
}
的实向量(x
1
,
...
,
xn
)∈
Rn
.
我们注意到以下有关宽度和距离的基本引
理。
引理2.1
设
α
,
β∈IRn
是紧矩形
.
(i)
<$m(α)−m(β)<$≤d(α
,
β)
(ii)
w(α)
−
w(β)
≤
2
d(α
,
β)
如果
α
±
β
.
如果
A
∈
I
R
n
且
f
:
A
→R
m
是一个函数,则函数
g
:
I
A
→
I
R
m
扩张
f
,
如果
{f
(
x
)}=
g
({
x
}),或者,使用上面的 约定 ,如果
f
(
x
)=
g
(
x
)对所有
x
∈
A
。对于连续函数
f
:
A
→Rm
的极大扩张,我们记为
If
:
IA
→IR
m
。
给定一个函数
f
:X
→IR
,我们写
f
=[
f
,
f
]
,如果
f
(x)
=[
f(x)
,
f
(x)
]
,
所有x
∈
X。 如果
f
=
[
f
,
f
]
:
[
a
,
b
]→IR
是
Scott
连续的,且a
≤
s
≤
t
≤
b,我们
不,
不
,
不
s
f
(x)dx
=[
s
f
(x)dx
,
s
f(x)dx
].
注意
f
=
[
f
,
f
]
的
Scott
连续性