亲自动手理解FFT：从信号到频谱的详细步骤与代码

本文档深入浅出地讲解了傅里叶变换（FFT）的原理、计算过程以及如何通过实例来理解和掌握这一重要概念。作者花费大量时间整理了一篇详尽的手把手教学，旨在帮助读者突破理论学习中的困惑，特别是对初学者而言。 首先，作者强调了采样定理的重要性，指出为了准确地从连续信号中恢复出其频谱，采样频率必须大于原始信号中最高频率的两倍。例如，对于给定的正弦信号组合 \( x_t = \sin(2\pi t) + \sin(3\pi t) + 1 \)，其最高频率为\( \frac{3}{2} \) Hz，因此至少需要\( 2 \times \frac{3}{2} = 3 \) Hz的采样率，但文中选择4 Hz以减小失真。 接着，作者讨论了采样点的数量决定，根据周期信号的性质，需要确保采样覆盖至少一个完整周期，即8个点对于周期为2秒的信号是足够的。然后，作者引入了傅里叶变换的基本公式，尽管公式看似复杂，但它实际上是将时域信号分解成不同频率成分的关键。 在实际操作中，作者逐个计算了8个采样点的数值，并展示了如何将这些数值代入傅里叶变换公式来求得频域结果。他还推荐了在线资源（B站视频）供读者直观地理解傅里叶变换的几何意义，以克服公式带来的抽象感。 值得注意的是，作者承认自己并未完全掌握理论层面，但他强调了实践操作的重要性，认为亲手计算可以帮助工程师更深刻地理解傅里叶变换。通过这个实例，读者不仅能学习到如何运用MATLAB或其他编程语言进行计算，还能了解到如何在实际工程问题中应用傅里叶变换来分析信号特性。 总结来说，这篇文档提供了对傅里叶变换从基础理论到实际操作的全面指导，包括采样定理、采样点选择、公式详解以及具体数值计算步骤，适合那些希望提升傅里叶变换技能的工程师或学生参考。