图论算法：上下界流量网络与ACM/ICPC竞赛实例

《有上下界的流量网络及其伴随网络》是一篇关于通信系统中的图论分析，特别是在网络流量管理和优化方面的核心内容。该主题由作者Haykin探讨，具体关注于图6.32所示的网络模型，其中网络具有特定的容量限制，并通过构建伴随网络来理解和分析流量特性。 图6.32(a)是一个具有上下界流量限制的网络，它的容量由每条弧上的两个数字表示，第一个数字代表弧的容量上限，第二个数字则表示流量的当前值。网络中存在源点Vs和汇点Vt，它们各自对应的弧容量可能为零，因为原网络中没有相应的出弧到Vt或入弧到Vs。 在图6.32(b)中，作者详细描述了如何构造伴随网络。伴随网络的目的是为了辅助理解原始网络的流量分布情况。在构建过程中，针对原网络中不存在的弧，如从Vt出发和到达Vs的弧，新加入的弧容量被设定为零。通过这种方式，可以简化问题并找到网络的最大流。 图6.33展示了在伴随网络中计算出的大流，所有附加源点sv流出的弧都达到其最大容量，表明原网络G确实存在可行流。这个可行流的流量大小为5，对应于图6.34(a)中的实际流量分配，每条弧的流量不仅标注了下界b(e)和上界c(e)，还提供了实际流量f(e)的具体数值。 网络流问题是图论中的一个重要课题，它涉及到如何在满足容量限制的前提下，最大化或最小化流量的传输。通过这种方式，可以应用于诸如交通网络设计、通信网络调度等实际问题中，确保资源的有效利用。在《图论算法理论、实现及应用》这本书中，作者王桂平、王衍和任嘉辰深入讲解了图论基础、遍历、树与生成树、最短路径、可行流等问题，并且强调了图论在ACM/ICPC竞赛中的应用，将其作为计算机和相关专业图论课程的重要教材，同时也适用于竞赛训练。 图论的研究始于瑞士数学家欧拉对哥尼斯堡七桥问题的解决，这标志着图论作为一门学科的诞生。欧拉的方法将实际问题转化为图论模型，证明了该问题无解，并发展出了更一般化的“ Eulerian trail”概念，即无重复路径遍历所有边的条件。后续的图论研究逐渐扩展到更广泛的领域，如图的连通性、平面图和着色问题等，这些理论不仅在学术界受到重视，也在现实世界的诸多问题中发挥着关键作用。