正多边形与数论初步：素数、同余与模算术

"这篇资料是2005年浙江省队培训的第一讲，主题为数论初步，由刘汝佳主讲。内容涵盖了数论的基本概念，包括整除性、素数与合数、算术基本定理、除法与同余、最大公约数和最小公倍数等核心知识点。" 在数论的初步学习中，首先我们要理解**整除性**的基本概念。整除意味着一个整数能够被另一个整数无余数地除尽。例如，如果a|b，表示a能整除b。这里需要注意的是整除性对于负数同样适用。整除性具有几个重要的性质，如若a|b且a|c，则a|(b+c)，并且对所有整数c，a|bc。整除关系形成了一种偏序关系，即整数集合上的部分有序关系。 **素数和合数**是数论中的基础元素。素数是大于1且仅能被1和自身整除的正整数，如2、3、5、7等。而合数则是除了1和自身外，还有其他正因子的正整数。每个合数都至少有一个小于或等于其平方根的素因子，这是寻找合数素因数分解时的重要依据。 **算术基本定理**是数论的基石之一，它指出每一个正整数都能唯一地分解为素数的乘积，且素数因子按递增顺序排列。这个定理不仅规定了整数分解的方式，而且强调了这种分解的唯一性，是数论中许多定理和方法的基础。 **除法与同余**是数论中处理整数除法时的重要工具。除法定理表明，任何整数a除以正整数d，都能得到唯一的商q和余数r，满足0≤r<d。同余关系则是在模运算下的一种等价关系，当两个数除以同一数c的余数相同时，我们说它们模c同余。同余在解决数论问题时经常被用来简化计算，如通过同余条件来简化模运算。 **最大公约数和最小公倍数**是两个整数之间的一种关系。最大公约数（GCD）是能同时整除两个数的最大正整数，而最小公倍数（LCM）是最小的正整数，它能被这两个数整除。这两个概念通过欧几里得算法可以方便地求解，并且有定理表明，两数的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘积。 通过深入理解这些基础知识，我们可以进一步探讨更复杂的数论问题，如同余方程的解法、中国剩余定理、费马小定理等。这些理论不仅在理论上有深远的意义，也在实际应用中发挥着重要作用，如密码学中的RSA算法就依赖于素数的性质。因此，掌握数论初步对于数学爱好者和专业研究者来说都是至关重要的。