邻接矩阵在图实现中的关键操作与应用

本篇文章主要讨论了图的邻接矩阵实现及其相关操作。在无向图的表示中，邻接矩阵是一种常用的数据结构，它通过一个二维数组来存储图中每个顶点之间的连接关系。以下是文章的核心知识点： 1. **数据结构设计**： - 成员变量：包括 `VNodes` 用于存储顶点，一个一维数组；`M` 是邻接矩阵，一个二维数组；`nodeCount` 记录顶点数量，`edgeCount` 记录边的数量。 - 构造函数：`MatUnDirectedGraph` 初始化时，预设数组大小为5，随着图的增长，通过 `expand()` 方法动态扩展数组容量。 2. **数组扩展策略**： - 当需要添加新顶点或边时，`expand()` 方法会将当前顶点数组和邻接矩阵扩展两倍，确保连续存储并更新数组。删除顶点时，需要调整其他顶点的编号和邻接矩阵中的关系。 3. **基本操作**： - **图的建立**：创建空的图实例，初始化顶点数组和邻接矩阵。 - **添加边**：通过修改邻接矩阵的对应元素，如 `M[i][j] = 1` 表示顶点 i 与 j 之间有边。 - **删除边**：在邻接矩阵中将对应位置的值置零，如果删除的是顶点，则还需调整其他顶点的邻接关系。 4. **图遍历**： - **广度优先遍历 (BFS)**：利用邻接矩阵可以直接访问相邻顶点，但需要注意更新边界条件，避免超出矩阵范围。 - **深度优先遍历 (DFS)**：同样可以利用邻接矩阵进行递归搜索，但需确保处理好边界情况和递归栈。 5. **最小生成树算法**： - **Prim算法**：邻接矩阵存储使得计算相邻顶点之间的距离变得直接，可以用作Prim算法的基础，每次选择当前树中与未加入树的顶点中距离最小的那个，直到所有顶点都被加入。 6. **优势与不足**： - **优点**：邻接矩阵适合稠密图，查询顶点间是否有边的时间复杂度低，便于表示和实现。 - **缺点**：对于稀疏图，占用较多空间，且插入和删除顶点的效率较低，因为需要移动大量元素。 总结来说，本文详细介绍了邻接矩阵在无向图表示中的应用，包括数据结构的设计、扩展方法以及关键操作，同时提到了其在图算法如广度优先遍历和Prim算法中的应用。在实际开发中，开发者需要根据图的密度和操作需求选择合适的图数据结构。