二维偏微分方程小波配点法：构造与应用

二维偏微分方程的小波配点法是一种创新的数值求解策略，由张培茹、赵凤群、周千和何静四位学者在西安理工大学理学院提出。他们利用多分辨分析这一理论，通过构建区间上的连续插值基函数，解决了传统小波函数在处理边值问题时的局限性，特别是在边界处可能产生的解震荡（Gibbs现象）和奇异边界条件下的误差问题。 他们首先选用任意连续的尺度函数，并在边界处结合外尺度函数，这样做的目的是确保在有限区域内生成插值函数，使得小波函数在离散化过程中更加适应边值问题。这种方法的关键在于，它允许在局部区域内精确近似函数，同时保持全局的稀疏表示，这对于减少求解偏微分方程所需的计算资源非常有效。 接着，他们运用二元张量积小波分析，将这一单维方法扩展到二维情况，从而实现了对二维偏微分方程的高效求解。在这个过程中，他们设计了一种处理边值条件的积分方法，这在传统的数值方法中是关键的一环，它确保了方程解的正确性和稳定性。 以二维热传导方程为例，研究者选择了Shannon函数进行数值计算，结果显示，所得的数值解具有很高的精度，证明了这种小波配点法在解决高维问题时的有效性和适用性。此外，该方法的优点还包括理论基础可靠，算法设计简洁，易于实现，并且能够显著减小边界效应，从而提高整体的数值求解精度。 二维偏微分方程的小波配点法是一种新颖而有效的数值求解技术，它结合了小波分析的时频局部化特性与多分辨分析的逼近性，为高维偏微分方程的数值求解提供了一种强有力的方法。在未来的研究中，这种方法有可能被广泛应用到其他领域，如信号处理、图像处理和数值分析等。