匈牙利算法详解：解决最大匹配问题

"本文主要介绍了匈牙利算法在解决二分图最大匹配问题中的应用。匈牙利算法是一种高效的方法，能够找到图中最大匹配，其核心在于增广路径的概念。增广路径是连接未匹配顶点的路径，边交替出现，通过调整增广路径可以增加匹配数量。算法步骤包括初始化为空匹配，寻找并调整增广路径，直至无法找到更多增广路径。文中给出了基于深度优先搜索（DFS）实现匈牙利算法的示例代码，用于在邻接矩阵表示的二分图中查找匹配节点。" 匈牙利算法的核心在于解决二分图的最大匹配问题，二分图是由两个互不相交的顶点子集构成，其中每条边连接不同子集的顶点。最大匹配是指在图中寻找边数最多的子集，使得这些边没有任何两个连接相同的顶点。完全匹配是每个顶点都被一条边覆盖的情况。 在寻找最大匹配时，匈牙利算法利用了增广路径的概念。增广路径是一条从未匹配顶点出发，经过已匹配和未匹配边交替出现，最终到达另一个未匹配顶点的路径。这种路径的特性使得通过取反操作（将路径上的未匹配边加入匹配，匹配边移除）可以增加匹配的数量。关键在于，如果一个匹配是最大匹配，那么图中不存在任何增广路径。 匈牙利算法的具体步骤如下： 1. 初始化：创建一个空的匹配集合M。 2. 寻找增广路径：使用DFS或其他搜索方法遍历图，寻找增广路径P。如果找到，执行路径取反操作更新匹配M。 3. 重复步骤2，直到找不到增广路径为止，此时的M即为最大匹配。 在提供的代码中，`match[]`数组记录了每个节点的匹配情况，初始值为-1表示未匹配。`visit[]`数组用于DFS过程中标记已访问过的节点，`map[][]`表示邻接矩阵，存储图的边信息。`dfs()`函数实现了深度优先搜索，检查当前节点k是否可以通过一条增广路径与未匹配节点相连。若找到增广路径，返回true；否则，回溯并恢复原来的匹配状态。 通过这样的过程，匈牙利算法可以在多项式时间内求得二分图的最大匹配，避免了暴力搜索导致的时间复杂度指数级增长的问题。在实际应用中，如工作分配、资源调度等场景，匈牙利算法都能够有效地解决问题。