"动态规划是程序设计中的一种方法,它通过将问题分解成子问题并存储中间结果来避免重复计算,以求得最优解。这种方法常用于寻找问题的全局最优解,要求子问题的解也是最优的。动态规划常应用于解决如最短路径、背包问题等优化问题。"
在计算机科学中,动态规划是一种强大的算法设计策略,主要用于解决具有重叠子问题和最优子结构的复杂问题。它的核心思想是分治,即将一个大问题分解为若干个相互关联的子问题,然后逐个解决这些子问题,并利用已解决的子问题的结果来构建原问题的解。动态规划的主要优势在于它可以避免重复计算,通过存储和复用之前计算过的子问题的解,显著提高了效率。
在动态规划中,一般遵循以下步骤来解决问题:
1. 定义状态:首先定义问题的状态,这通常是问题的关键属性的组合,如在最短路径问题中,状态可能是到达某个节点的距离。
2. 定义决策:确定在每个状态下一步可以采取的动作或决策。
3. 定义状态转移方程:这是动态规划的核心,它描述了如何从一个状态转移到另一个状态。状态转移方程通常表示为 `dp[i] = ...` 形式,其中 `dp[i]` 表示在状态 `i` 的最优解。
4. 初始化:设置边界条件,通常是问题的最小规模或最简单情况。
5. 求解:自底向上或自顶向下地填充状态表,直到得到原问题的状态,从而得到最优解。
举个例子,斐波那契序列是一个经典的动态规划问题。递归解斐波那契序列会导致大量的重复计算,如计算 `f(6)` 时会重复计算 `f(4)`。而动态规划通过存储每个斐波那契数的值,避免了重复计算,显著提高了效率。例如,可以创建一个数组 `a[]` 来存储已计算过的斐波那契数,然后使用迭代的方式逐步计算序列中的每一个数。
动态规划与贪心法的区别在于,贪心法在每一步选择局部最优解,期望这些局部最优解组合成全局最优解,而动态规划则确保每个阶段的决策都是基于当前已知信息的最优决策,并且保存这些决策的结果以备后续使用。
在实际应用中,动态规划常用于解决各种优化问题,如最短路径问题(如Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法)、背包问题(0/1背包、完全背包、多重背包)、最长公共子序列、矩阵链乘法等。理解并熟练运用动态规划是提高编程能力和解决复杂问题的关键技能之一。